正交变换与对称变换

                     

贡献者： 叶月2_; addis

　　 本文用 “$(\mathbf{x},\mathbf{y})$” 表示对任意两个向量作内积。本文的 “内积” 是狭义上的正定性对称双线性函数。实际上，正交变换的概念可以拓展至配备任意非退化二次型的线性空间，可见正交矩阵一节定义 1 。

1. 正交变换

　　 实际上，正交变换是线性变换。

　　 证明：

　　 因而 $\mathcal{A}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathcal{A}\mathbf{x}+\mathcal{A}\mathbf{y}$。同理可得 $\mathcal{A}(k\mathbf{x})=k\mathcal{A}(\mathbf{x})$。

　　 证明：由于正交变换是满射，所以只需要利用线性证明其是单射即可。 设存在 $\mathcal{A}\mathbf{x}=\mathcal{A}\mathbf{y}$，则 $\mathcal{A}\mathbf{x}-\mathcal{A}\mathbf{y}=A(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\mathbf{0}$。又因为 $(\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y})=(A(\mathbf{x}-\mathbf{y}),A(\mathbf{x}-\mathbf{y}))=\mathbf{0}$，由正定性可得 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$，得证。

　　 设 $\{{\mathbf{e}}_i\}$ 是 $V$ 上的一组标准正交基。由正交变换保内积可知，该基映射后依然是标准正交的。又因为正交变换是单射，所以映射后的向量组是线性无关的，所以正交变换$\mathcal{A}$把标准正交基映射为标准正交基。

　　 也就是说：$\mathcal{A}$ 是正交变换 $⟺\mathcal{A}$把标准正交基映射为标准正交基。后者是正交矩阵的定义，可见正交矩阵是正交变换的矩阵表示。正交矩阵保二次型不变的性质等价于正交变换的内积定义，¹或者说——

　　 $\mathcal{A}$ 是正交变换 $⟺$ 对任意 $\mathbf{x}\in V$，线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $|\mathcal{A}\mathbf{x}|=|\mathbf{x}|$。²

　　 令 $O(n)$ 表示 $n$ 维线性空间 $V$ 上全体正交变换的集合。由定义可知，该集合具有如下性质：

1. 封闭性。若 $A,B\in O(n)$，则 $AB\in O(n)$；
2. 结合性。若 $A,B,C\in O(n)$，则 $A(BC)=(AB)C$；
3. 单位元存在性。$I\in O(n)$；
4. 逆元存在性。若 $A\in O(n)$，则 $A^{-1}\in O(n)$；

　　 所以，正交变换构成一个群。

　　 在欧几里得空间中，正交矩阵的行列式为 $1$ 或者 $-1$，常称行列式为 $1$ 的正交变换为第一类的（旋转），用 $SO(n)$ 表示；称行列式为 $-1$ 的正交变换为第二类的正交变换。

正交变换的本征值

　　 由上述讨论可知，正交变换若有本征向量，则本征值的模长为 $1$，从而保证向量的模长不变。又因为 $O(3)$ 定义在实数域的线性空间上，因此本征值必为实数。

　　 证明： 我们知道，在复数域上，矩阵行列式等于特征值的连乘。由于一元多项式方程里复根成对出现（若 ${\lambda }_0$ 为本征值，则 ${\lambda }_0^{\ast }$ 也为本征值），所以复根部分的本征值连乘结果必为 $1$。于是剩下的奇数个实本征值连乘结果必为 $1$，所以至少有一个本征值为 $1$，得证。

正交变换的块对角形式

　　 为了简化正交矩阵的形式，我们先来证明两个常用结论。

　　 证明：³

　　 若 $f$ 有若干个实本征值，则其对应的本征向量是 $V$ 上的一维不变子空间。

　　 将 $n$ 维 $V$ 复化为 $U$。若 $\{{\mathbf{e}}_i\}$ 为 $V$ 上的一组基，则任意 $\mathbf{x}\in U$ 可表示为：

其中 $a^i,b^i\in \mathbb{R},\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$。显然 $U\supseteq V$。 在复数域上，$f$ 有 $n$ 个本征值。设有 $k$ 个实本征值，则对应的本征向量是 $V$ 上的一维不变子空间。设复本征值表示为 $a+\mathrm{i}b$，对应本征向量表示为 $\mathbf{x}+\mathrm{i}\mathbf{y}(\mathbf{x},\mathbf{y}\in V)$。利用 $f$ 的线性可得： 即： 所以 $\mathrm{Span}\{\mathbf{x},\mathbf{y}\}$ 为 $f$ 在 $V$ 上的一个二维不变子空间。

　　 证明： 设复本征值 $\lambda =a+b\mathrm{i}=\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi$，代入式 5 便可得形式为式 6 的 $A{|}_W$。接下来只需要证明实部和虚部分量是标准正交即可。为方便计，把转置操作表示为'。

　　 由于 $k\mathbf{x}$ 依然是 $A$ 的本征向量，我们可以归一化其实部分量，使得 ${\mathbf{u}}^2=1$。则归一化后的

　　 由于 $A^{\prime }=A^{-1}$ 且 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，左乘 $A^{\prime }$ 后得 $\mathbf{x}=\lambda A^{\prime }\mathbf{x}$，利用正交变换不改变向量模长，即 $|\lambda {|}^2=1$，得 $A^{\prime }\mathbf{x}={\lambda }^{\ast }\mathbf{x}$。所以

因此 ${\mathbf{x}}^2={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}=0$。代入式 7 可得： 得证。 这两条引理说明，正交变换 $A$ 的每个复本征值都对应一个实数域上的二维不变子空间，且 $A$ 限制在该子空间上的形式总如式 6 所示。若 $A$ 为二阶矩阵且实数域上无特征根，则 $A$ 唯一表示为该形式，乘以任意向量相当于旋转该向量。

　　 设 $\{{\mathbf{e}}_i\}$ 为 $W$ 上的一组标准正交基，并扩展到全空间，使得 $\mathrm{Span}\{{\mathit{\theta }}_i\}$ 张成 $W^{\mathrm{\perp }}$。由题设知 $\{A{\mathbf{e}}_i\}$ 依然张成 $W$，由于 $(A{\mathit{\theta }}_i,A{\mathbf{e}}_i)=0$，因此 $A{\mathit{\theta }}_i\in W^{\mathrm{\perp }}$，得证。

　　 由定理 3 可知，在 $\{{\mathbf{e}}_i\}\cup \{{\mathit{\theta }}_i\}$ 下，$A$ 有块对角形式：$A=A{|}_W\oplus A{|}_{W^{\mathrm{\perp }}}$。实际上，该块对角形式可以进一步 “细化”。

　　 证明： 若 $n=1$，矩阵为一实数，设为 a。由 $(a\mathbf{x},a\mathbf{x})={\mathbf{x}}^2$ 可得，$a=\pm 1$。

　　 若 $n=2$ 且 $A$ 没有本征值，由引理 1 可知，$A$ 在 $V$ 上必有一二维不变子空间，$A$ 的形式就是旋转矩阵。 如果 $A$ 有一本征值 ${\lambda }_1$ 且 $Ax={\lambda }_1\mathbf{x}$，设单位向量 $\mathbf{y}\cdot \mathbf{x}=0$，由引理 3 知，$\mathbf{y}$ 也是 $A$ 的本征向量。设 $Ay={\lambda }_2\mathbf{y}$，则

　　 若 $A$ 无本征值，由引理 2 知其形式即二阶旋转矩阵，对应复根 $\cos \varphi -\mathrm{i}\sin \varphi$。

　　 接下来设 $n>2$，用数学归纳法即可证明。若 $A$ 无本征值，则必有一二维不变子空间，设为 $S$,$A{|}_S$ 为式 6 。$A{|}_{S^{\mathrm{\perp }}}$ 为正交矩阵，若 ${\lambda }_1$ 为其本征值，则必定有一维不变子空间，设对应的本征向量为 ${\mathbf{x}}_1$，则可以扩展为 $S^{\mathrm{\perp }}$ 上的标准正交基，设 ${\mathbf{x}}_2$ 的正交补为 $S_1$，则

则 ${\lambda }_1$ 也是 $A$ 的本征值，矛盾。故 $A$ 由若干个形式如式 6 的二阶矩阵直和而成。

　　 若 $A$ 有本征值，令其为 ${\lambda }_1^{\prime }$，则其本征向量可以扩展为全空间的标准正交基。在该本征向量的正交补空间讨论，若可以找到另一本征值 ${\lambda }_2^{\prime }$，则对应的本征向量又可以扩展为该正交补上的基矢组，经过相似变换得到 $A$ 的新形式，${\lambda }_1^{\prime }$ 和 ${\lambda }_2^{\prime }$ 为对角元。以此类推，最后得到该定理的形式，$k$ 为 $A$ 的实本征值数量。

2. 对称变换

　　 若 $V$ 为 n 维实线性空间，$B$ 为对称变换的矩阵表示。任选一组标准正交基，由式 13 得：

左乘 $\mathbf{x}$ 可得， 因此，$B=B^T$，对称变换的矩阵表示是对称矩阵。

　　 前文的推导只要求基矢标准正交，因此该定理成立。

　　 对称变换有类似正交变换的结论：

　　 证明：

　　 任选 $\mathbf{x}\in U,\mathbf{y}\in U^{\mathrm{\perp }}$，则

因而 $B\mathbf{y}\in U^{\mathrm{\perp }}$，$U^{\mathrm{\perp }}$ 是 $B$ 的不变子空间。

　　 下面罗列一些对称矩阵常见结论，$A$ 表示任一对称矩阵，证明略。

　　 对于基域不为 $2$ 的实线性空间，其上的二次型总可以写为对称矩阵的形式。因此定理 8 相当于说：

　　 任一二次型都可以经正交合同变换变为标准二次型。

　　 上述常见定理的证明见定理 1 。

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1. ^ 广义内积即二次型决定的对称双线性函数：$(\mathbf{x},\mathbf{y})\equiv \frac{1}{2}(q(\mathbf{x}+\mathbf{y})-q(\mathbf{x})-q(\mathbf{y}))$，利用该性质可证明保二次型不变等价于内积不变。
2. ^ 该充要条件并不能推广至广义内积空间。因为对于退化的二次型，保内积不变无法推出 “将线性无关组映射为线性无关组”。
3. ^ 参考 Jier Peter 的《代数学基础》