贡献者： JierPeter; addis
切空间是切向量的集合。从几何直观来说，切向量就是和某个平面或者超平面相切于一点的向量。
在线性代数中，我们将原点默认为所有向量的起点，这样只需要终点就可以表示向量了，因此向量被一一对应到点上。这种方式获得的向量，实际上是更广义的切向量中的一类，即从原点 “发射” 出去的向量。我们也可以空间中的其它点作为起点，来得到发射出去的向量。当然，如果把向量理解成 “具有长度和方向的量” 以及此概念的推广，那么向量的起点是无关紧要的；而切向量是区分了起点的。
为什么叫做切向量呢？我们将在讨论光滑流形在欧几里得空间中的嵌入时看到原因。
从一个点 $P$ 发射出去的向量，被称为点 $P$ 处的切向量。因此，线性代数中所研究的空间可以看成是原点处的切向量构成的空间，称作原点处的切空间。
如果一个欧氏空间被嵌入到更高维的一个空间中，比如说将 $\mathbb{R}^2$ 以抛物面的形状嵌入到 $\mathbb{R}^3$ 中，那么切空间的意义就非常直观了：点 $P$ 处的切空间就是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个与该抛物面切于点 $P$ 的平面，取点 $P$ 作为该平面的原点，那么这个平面也可以看成一个二维实线性空间 $\mathbb{R}^2$。
设 $S$ 是一个欧几里得空间中的曲面或者就是欧几里得空间本身，那么在 $S$ 的一点 $x$ 处的切空间被记为 $T_xS$，其定义如下所述。
对于一个欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$，我们可以简单地把某点 $x\in\mathbb{R}^n$ 处的切向量定义为以该点为起点的向量，而所有该点处的切向量构成一个 $x$ 上的切空间。曲面上的某一点 $x$ 的切空间也很容易定义：所有从 $x$ 出发且和曲面相切的向量构成的集合，比如三维空间里二维平面上的切空间，直观来看就是一个切平面。显然，切空间就是一个线性空间。
几何向量的定义在欧几里得空间里非常直观，但是当我们讨论曲面，或者更一般地说，流形上的切向量时，就不是那么方便了，因此我们会采用以下定义方式。
如果在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中有一个曲面 $S$，假设它是一个光滑的曲面，也就是说可以把它看成某个光滑函数的等值面1，那么我们可以使用道路来求出曲面某一点处的切向量（tangent vector）。
取点 $p\in S$，令 $r:I\rightarrow S$ 是一条光滑2的道路，且满足 $r(0)=p$，那么 $r(t)$ 是从 $x$ 处出发的一条向量。从几何的角度来说，这个向量不一定是曲面 $S$ 的切向量，它有可能穿过 $S$；不过从微积分中我们知道，极限 $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{r(t)}{ \left\lvert r(t) \right\rvert }$ 是 $p$ 处的一个切向量。用这个极限计算出来的切向量涵盖了所有可能的方向，但都是单位向量；为了讨论 $p$ 处的整个切空间，可以改用 $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{r(t)}{t}$ 来定义，这样所有长度的切向量都存在了，甚至包括无穷长度的切向量。
如果一条道路 $r$ 按以上定义导出的向量存在3且有限长，那么我们称 $r$ 是收敛的。如果导出的向量不存在或者长度为无穷，那么称 $r$ 是发散的。如果道路 $r$ 导出切向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，我们也说 $r$收敛于$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $。
不同的道路可能收敛同一个向量。我们把收敛于同一个切向量的道路称为等价的。这样一来，我们就可以对道路进行等价划分，同一个等价类的道路收敛于同一个切向量，不同等价类的道路收敛于不同的切向量。于是，我们就可以把这样定义的道路等价类和切向量一一对应；或者说，称道路等价类为向量。对于道路 $r$，把 $[r]$ 记为所有和 $r$ 等价的道路之集合，也就是 $r$ 所在的等价类。
一个点处的切向量全体构成一个切空间（tangent space），这是一个线性空间。两个道路等价类的和该怎么计算呢？在两个道路等价类 $[r_1]$ 和 $[r_2]$ 中任取代表道路 $r_1$ 和 $r_2$，那么令 $r(t)=r_1(t)+r_2(t)$，得到和道路 $r$，那么可定义道路等价类的向量加法：$[r_1]+[r_2]=[r]$。类似地，可以定义数乘：$a[r]=[ar]$。
不仅是在 $S$ 上，在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 本身中也可以用道路定义切向量，这个定义和几何向量定义的切向量是一致的。
考虑欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$。对于该空间中的任意一个光滑函数 $f$，在给定点 $P$ 处，沿着道路 $p(t)=P+(t, 0, 0, \cdots, 0)$ 对 $f$ 求方向导数的操作，实际上等价于求 $\frac{\partial}{\partial x_1}f$。因此，我们可以把道路 $p(t)$ 和偏微分算子 $\frac{\partial}{\partial x_1}$ 等同起来。
一般地，道路 $p(t)=P+(a_1t, a_2t, a_3t, \cdots, a_nt)$ 对应于偏微分算子 $a_1\frac{\partial}{\partial x_1}+a_2\frac{\partial}{\partial x_2}+a_3\frac{\partial}{\partial x_3}+\cdots+a_n\frac{\partial}{\partial x_n}$。因此，我们也可以将切向量理解为偏微分算子，又叫导子（derivation）。
$\partial/\partial x_i|_{p}f$ 表示的是一个偏导数的值，而 $\partial/\partial x_i|_{p}$ 是表示求偏导数这一操作，因而被称作算子。任何导子相加或乘以某个数字的结果还是导子。导子之间自然引出的向量加法和数乘使它们构成了一个线性空间。
导子和偏导数的关系，就像电场和静电力的关系一样。在电场中放入一个测试电荷，测试电荷就会受到电场施加的静电力，但我们通常研究的是电场本身，测试电荷只是方便描述其性质，并不是关键；同样地，取一个测试函数，用导子作用于测试函数就可以得到一个数值，但我们研究的是导子本身，要摆脱具体的测试函数。
对于流形上的图 $(U,\varphi)$ 或流形上的某个嵌入 $i$，沿着相应道路对时间 $t\in I$ 求导，可以得到 $\varphi(U)$ 中的向量，即几何向量定义；也可以得到 $i(U)$ 上的切向量，这是几何向量定义难以清楚描述的。道路定义就是沿着道路求方向导数，但将直线道路取代成任意光滑道路，所求的方向导数是光滑道路在起点处切线的方向。这是因为我们对图的选择是任意的，一个图中的直线道路到另一个图中不一定还是直线，但一定是光滑道路。而导子本身就是在求方向导数。
今后，当我们提到切向量时，总是指道路定义和导子定义，有时会交替使用，读者应熟悉两种定义之间的等价性。
详见切丛。
欧氏空间中任意一点处都有切空间，所有这些切空间构成的集合，被称为一个切丛（tangent bundle）。$\mathbb{R}^n$ 上每个点的切空间都同构于 $\mathbb{R}^n$，因此切丛可以看成集合 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{2n}$4。
物理学中有一个很常见的切丛的实例，那就是切向速度空间。给定一个时空，一个质点在时空中每一个点处都可以取不同的瞬时速度，在每个点上可能的瞬时速度的集合，就构成了这个点上的一个切空间。所有点上所有可能的瞬时速度的集合，就构成了该时空中的一个切丛。
1. ^ 对于函数 $f$，任意数值 $a\in\mathcal{F}$，称 $f^{-1}(a)$ 是 $f$ 的一个等值面。
2. ^ 由于预备知识中光滑的定义依赖于欧氏空间，这里的光滑是指 $r$ 作为 $I\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的映射而言的。
3. ^ 光滑道路必然存在导出的向量；虽然我们只考虑光滑道路，但并不妨碍将道路导出切向量的思想应用到一切道路上，这样的话有可能有的道路并不存在导出的向量。
4. ^ 这种看法仅限于欧几里得空间这样已经自带联络的情况。实际上丛并不能简单地看成两个拓扑空间的笛卡尔积，详见纤维丛。