量子态的对称化与反对称化

贡献者： addis

预备知识　粒子交换算符

　　如果给定一个多粒子波函数处于对称或反对称子空间之外，特定情况下我们可以将其对称化（symmetrize）或反对称化（antisymmetrize）。先用粒子交换算符表示例 2 的过程。

例 1　

　　假设单个粒子态空间的一组正交归一基底是 $ \left\{ \left\lvert i \right\rangle \right\} $，两个粒子某时刻的态矢可以用单个张量积表示 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 且。若 $i = j$，则显然这个态已经是对称的。若 $i \ne j$，则态矢是不对称的，我们可以通过乘以 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 来对称或反对称化（分别取正号和负号）

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}(1 \pm P_{12}) \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle \pm \left\lvert j \right\rangle \left\lvert i \right\rangle )~. \end{equation}

由于等式中的两项也是正交归一的，我们需要另乘归一化系数 $1/\sqrt 2$。可以验证，该式就是 $P_{1,2}$ 的本征矢，本征值分别为 $\pm 1$。这种方法利用了交换算符的性质式 8 。

　　更一般地，我们也可以不要求 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 正交，但这样式 1 中的两项也变得不正交，我们就要重新计算归一化系数了。

　　在该例中，我们把 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 称为对称化算符（symmetrizer）或反对称化算符（antisymmetrizer）。

1. 多粒子对称化

　　若将例 1 中的两个粒子改为 $N$ 个粒子，如何将状态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $（反）对称化呢？稍加思考会发现，若要对称化，我们只需要将 $ \left\lvert i_1 \right\rangle , \left\lvert i_2 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 的所有不同的排列相加再归一化即可。如果这 $N$ 个单粒子态都是不同的，那么一共有 $N!$ 种排列。我们用 $p_n(i)$ 来表示，例如

表1：$N = 3$ 的 6 种排列

	$p_1(i)$	$p_2(i)$	$p_3(i)$	$p_4(i)$	$p_5(i)$	$p_6(i)$
$i=1$	1	1	2	2	3	3
$i=2$	2	3	1	3	1	2
$i=3$	3	2	3	1	2	1

　　则正交化的结果为

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{n = 0}^{N!} \left\lvert p_n(1) \right\rangle \left\lvert p_n(2) \right\rangle \dots \left\lvert p_n(N) \right\rangle ~. \end{equation}

为了验证这是一个对称态，我们可以用例如 $P_{i,j}$ 作用在上面，这相当于把表 1 中的第 $i,j$ 行调换，容易得出这不会改变式 2 。

　　如果 $ \left\lvert i_1 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 中出现重复，情况就要更复杂一些。令其中只有 $M < N$ 种不同的单粒子态，重复的次数分别是 $n_1, \dots, n_M$，有 $\sum_i n_i = N$。这样一来不同的排列减少至 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 种，我们仍然可以写出类似式 2 的表达式，但求和只有 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 个正交归一的项，所以归一化系数也变为 $\sqrt{n_1! n_2! \dots n_M!/N!}$。

对称化算符

　　要把对称化用算符表示出来也不难，我们可以对每一种不同的排列 $p_n(1), p_n(2), \dots$ 都定义一个对称化算符 $P_n$。定义反对称化算符为（求和的项数同样取决于是否出现重复）

\begin{equation} \mathcal S = 1 + \sum_n P_n~, \end{equation}

这样对称化就可以优雅地表示为 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $。

2. 多粒子反对称化

　　我们同样也可以使用排列算符对 $N$ 粒子态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $ 进行反对称化，但前提是我们必须要求其中 $N$ 个单粒子态都是不同的。这时因为如果 $ \left\lvert j \right\rangle = \left\lvert k \right\rangle $，那么无论如何排列，得到的态关于交换算符 $P_{j,k}$ 都是对称的。这就是泡利不相容原理。

　　由式 1 的启发，我们可以尝试改变式 2 或式 3 中一些项的正负号来达到反对称化。事实上行列式的定义中已经给出了我们需要规则，即使用逆序数的奇偶性来决定正负号。对称化的结果可以用行列式记为

\begin{equation} \begin{vmatrix} \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \end{vmatrix} ~. \end{equation}

这个行列式被称为斯莱特行列式（Slater determinant）。

　　要证明反对称性很简单，任意交换算符 $P_{i,j}$ 作用在式 4 , 相当于把行列式的两行置换（这里其实交换的是行列式的两列，但是矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式），而根据行列式的性质（定理 3 ），这会使结果取相反数。证毕。

　　通过在式 3 中根据 $P_n$ 的逆序数在其前面适当添加正负号 $S_n$（见式 4 ），我们也可以定义反对称化算符

\begin{equation} \mathcal A = 1 + \sum_n S_n P_n~. \end{equation}

3. 子空间的维度

　　先来看有限维的情况，假设单个粒子态所在空间是 $M$ 维的（例如只考虑自旋空间，$M = 2s+1$），那么只有当粒子数 $N \le M$ 时，才能允许全同费米子的态矢。通过基底的不同组合以及对称化，我们一共可以找到 $C_M^N$ 种不同的反对称基底，所以¹反对称子空间是 $C_M^N$ 维的。要得到这 $C_M^N$ 个基底，我们只需要从 $M$ 个单粒子基底中无顺序不重复地选出 $N$ 个（$ \left\lvert i_1 \right\rangle , \dots, \left\lvert i_N \right\rangle $）。每选一次就可以得到一个对称基底 $\mathcal A \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $，它们张成整个反对称子空间。物理上，这意味着 $N$ 个全同费米子占据 $M$ 个状态，每种可能就是一个基底。

　　对于玻色子，我们不要求 $N \le M$，因为多个玻色子可以处于同一个单粒子态。可以证明对称子空间的维数等于 “从 $M$ 个态中无序地选 $N$ 个，允许重复” 的个数，但遗憾的是我们不能把这个数写成一个简洁的公式。对称子空间基底的构建也同理，每次选取出 $N$ 个态后都可以构建一个基底 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $。

1. ^ 这不是证明只是对结论的一个简单描述。