行列式的性质

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预备知识　行列式

未完成：应该并入行列式

　　以下是行列式常见的性质，我们从定义出发容易一一证明。由于行列式的绝对值表示体积，我们也可以从几何上理解这些定理。这些定理对复数元素的行列式同样适用，只是复数行列式不再具有直观的几何意义。

定理 1　

　　若行列式中某行或某列全为 0，其结果等于 0。

　　证明：根据定义（式 4 ），行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以当某列全为 0，则结果为 0。

　　几何理解：若平行体的某条边长等于 0，其体积也等于 0。

定理 2　

　　矩阵的任意一列（或任意一行）乘以常数，行列式的值也要乘以该常数。

　　证明：思路和定理 1 的证明一样，行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以当某列全部元素乘以常数，则相加的每一项都乘以该常数。

　　几何理解：将平行体任意一条边长乘以一个常数，它的体积也需要乘以该常数。

定理 3　

　　将行列式的两列交换，结果取相反数。

　　证明：根据行列式的定义，交换两行或两列会给展开后的每一项的奇偶性会发生改变，导致行列式的值取相反数。

定理 4　

　　若将行列式的某行或某行的每一个元素都表示为两个数之和，那么它就可以表示为两个行列式相加：

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} + c_{i,1} & b_{i, 2} + c_{i, 2} & \dots & b_{i,N} + c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ b_{i,1} & b_{i, 2} & \dots & b_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ c_{i,1} & c_{i, 2} & \dots & c_{i,N}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \dots & a_{N,N}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}~ \end{equation}

列的情况也同理。

　　证明：行列式展开后，相加的每一项都含有每一行（或每一列）的一个元素，所以显然成立。

　　几何理解：若把平行体的一条边变为两条折线，那么可以作出两个叠加的平行体，体积之和等于原来的体积。

定理 5　

　　把矩阵的第 $i$ 行（列）加上 “第 $j$ 行（列）乘任意常数 $\lambda$”，行列式的值不变。

　　证明：根据定理 4 和定理 2 ，我们可以把这样操作后的行列式拆分为两个行列式，第一个与原来相同；第二个在原来的基础上把第 $i$ 行替换为第 $j$ 行，再把行列式的值乘以 $\lambda$。而第二个行列式由于存在两行相同，结果为 0。

　　几何理解：以平行四边形为例，由于其体积是底乘以高，令 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 为底，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影为高，则将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 变为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$（$\lambda$ 为常数）后高不变，所以面积不变。高维情况同理。

定理 6　

　　若行列式中的行矢或列线性相关，行列式的值为 0。

　　线性相关意味着存在某一行 $i$，可以表示为其他行的线性组合。那么我们可以通过将这些其他的行依次乘以常数，然后加到第 $i$ 行上，使得第 $i$ 行全为 0。根据定理 5 ，这么做不改变行列式的值，而根据式 1 ，行列式的值为 0。

　　几何理解：二维情况下两矢量线性相关意味着他们共线，平行四边形面积为 0。三维情况下线性相关意味着三个矢量共面，平行四面体体积为 0。高维情况也可类比。

定理 7　

　　行列式的值为 0 当且仅当行列式中存在线性相关的列（行）。

定理 8　

　　矩阵转置（将所有 $a_{i,j}$ 与 $a_{j,i}$ 交换）后行其列式的值不变。

　　这个定理没有显然的几何理解，可以直接用行列式的定义证明（式 4 ）。根据这个定理，以上凡是涉及到 “行” 的定理和说明，都可以替换为 “列”，请读者自行回顾一次。

定理 9　

　　两方阵相乘的行列式等于他们的行列式相乘

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert ~. \end{equation}

　　证明：容易证明对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 做行变换或对 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做列变换分别相当于对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做相同的行变换或列变换，所以根据定理 5 ，变换后式 2 两边的值都不改变。用行变换和列变换把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 都变为对角矩阵后，证明显然（留做习题）。

定理 10　

　　若 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，那么

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~. \end{equation}

　　证明： $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{I}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert =1$，所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert =\frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \right\rvert }~.$

1. 拓展

　　行列式的代数性质可以抽象为外代数（见例 6 以及例子后的解释），进而用于定义外微分，描述微分形式的代数性质。