贡献者： addis
我们已知 $1/2$ 自旋的矩阵可以用 $\hbar/2$ 乘以泡利矩阵得到。以下我们试图计算任意 $n/2$ 自旋粒子的三个自旋分量算符 $S_x$，$S_y$ 和 $S_z$ 对应的矩阵。这些矩阵一般使用 $S_z$ 的本征态 $ \left\lvert s, m \right\rangle $ 作为基底（另外两组基底同理可得）。注意当 $s$ 为整数时，本文的结论同样适用于轨道角动量（把算符 $S$ 和量子数 $s$ 分别替换为 $L$ 和 $l$ 即可）。
基本思路是先求出升降算符 $S_\pm = S_x \pm \mathrm{i} S_y$ 的矩阵。再把它们分别相加和相减得到 $S_x$ 和 $S_y$ 的矩阵。$S_z$ 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵。
已知归一化系数为
\begin{equation}
S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s,m\pm1 \right\rangle ~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| S_\pm \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m, m'\pm1} \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'}~.
\end{equation}
可见 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} _+$ 只有下方的子对角线不为零，$ \boldsymbol{\mathbf{S}} _-$ 只有上方的子对角线不为零。
最后得三个矩阵为
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| S_x \middle| s,m' \right\rangle = \frac12(\delta_{m, m'+1} + \delta_{m, m'-1})\hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| S_y \middle| s,m' \right\rangle = \frac{1}{2 \mathrm{i} }(\delta_{m, m'+1} - \delta_{m, m'-1}) \hbar \sqrt{s(s + 1) - mm'}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle s,m \middle| S_z \middle| s,m' \right\rangle = \delta_{m,m'} m\hbar ~.
\end{equation}
可以验证当 $s = 1/2, m = \pm1/2$ 时，我们就得到了三个泡利矩阵。