自旋角动量矩阵

贡献者： addis; 叶月2_

预备知识　自旋，简谐振子升降算符归一化

　　我们已知 $1 / 2$ 自旋的矩阵可以用 $ℏ / 2$ 乘以泡利矩阵得到。以下我们试图计算任意 $n / 2$ 自旋粒子的三个自旋分量算符 ${\hat{S}}_{x}$ ， ${\hat{S}}_{y}$ 和 ${\hat{S}}_{z}$ 对应的矩阵。这些矩阵一般使用 ${\hat{S}}_{z}$ 的本征态 $| s, m ⟩$ 作为基底（另外两组基底同理可得）。注意当 $s$ 为整数时，本文的结论同样适用于轨道角动量（把算符 $S$ 和量子数 $s$ 分别替换为 $L$ 和 $l$ 即可）。

　　基本思路是先求出升降算符 ${\hat{S}}_{\pm} = {\hat{S}}_{x} \pm i {\hat{S}}_{y}$ 的矩阵。再把它们分别相加和相减得到 ${\hat{S}}_{x}$ 和 ${\hat{S}}_{y}$ 的矩阵。 ${\hat{S}}_{z}$ 算符在其本征态基底下是本征值组成的对角矩阵。

　　已知归一化系数为

\begin{matrix} (1) & {\hat{S}}_{\pm} | s, m ⟩ = ℏ \sqrt{s (s + 1) - m (m \pm 1)} | s, m \pm 1 ⟩, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (2) & ⟨ s, m | {\hat{S}}_{\pm} | s, m^{'} ⟩ = δ_{m, m^{'} \pm 1} ℏ \sqrt{s (s + 1) - m m^{'}} . \end{matrix}

可见

{\hat{S}}_{+}

只有下方的子对角线不为零，

{\hat{S}}_{-}

只有上方的子对角线不为零。

　　最后得三个矩阵为

\begin{matrix} (3) & ⟨ s, m | {\hat{S}}_{x} | s, m^{'} ⟩ = \frac{1}{2} (δ_{m, m^{'} + 1} + δ_{m, m^{'} - 1}) ℏ \sqrt{s (s + 1) - m m^{'}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & ⟨ s, m | {\hat{S}}_{y} | s, m^{'} ⟩ = \frac{1}{2 i} (δ_{m, m^{'} + 1} - δ_{m, m^{'} - 1}) ℏ \sqrt{s (s + 1) - m m^{'}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & ⟨ s, m | {\hat{S}}_{z} | s, m^{'} ⟩ = δ_{m, m^{'}} m ℏ . \end{matrix}

可以验证当

s = 1 / 2, m = \pm 1 / 2

时，我们就得到了在

{\hat{S}}_{z}

表象下的自旋角动量分量矩阵。如下所示：

\begin{matrix} (6) & {\hat{S}}_{x} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), {\hat{S}}_{y} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), {\hat{S}}_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

自旋算符的 “态矢表示法”

　　为了计算方便，有时候我们也会用 “态矢” 组合来表示自旋分量矩阵。设

\begin{matrix} (7) & | + ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | - ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), \end{matrix}

显然这是

{\hat{σ}}_{z}

的两个本征向量。则二阶矩阵的基可以表示为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} | + ⟩ ⟨ - | & = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), | - ⟩ ⟨ + | = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}) \\ | + ⟩ ⟨ + | & = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}), | - ⟩ ⟨ - | = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

利用基向量表示自旋分量矩阵如下，

\begin{matrix} (9) & {\hat{S}}_{x} = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩ ⟨ - | + | - ⟩ ⟨ + |), {\hat{S}}_{y} = \frac{i ℏ}{2} (- | + ⟩ ⟨ - | + | - ⟩ ⟨ + |), {\hat{S}}_{z} = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩ ⟨ + | - | - ⟩ ⟨ - |) . \end{matrix}

相应的，我们也可以用态矢表示

{\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{y}

的特征向量。由式 6 可知在归一化后，

{\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{y}

的特征向量为分别为：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} | {\hat{S}}_{x}; \pm ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ \pm | - ⟩), \\ | S_{y}; \pm ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{c} 1 \\ \pm i \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ \pm i | - ⟩) . \end{aligned} \end{matrix}