贡献者： _Eden_
Yukawa 提出一个费米子与标量粒子耦合的相互作用理论，它的作用量可以写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L}=\bar\psi (i\gamma^\mu-m) \partial_\mu \psi+
\frac{1}{2}(\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi + m_\phi^2 \phi^2) + g\bar\psi\phi\psi~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $g\bar\psi \phi\psi$ 意味着费米子与标量粒子耦合的相互作用，其耦合常数为 $g$。Yukawa 用这一理论给出了核子间强相互作用的一种解释。在非相对论极限下，两个费米子（或反费米子）之间的非相对论势能为
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(r)=-\frac{g^2}{4\pi} \frac{1}{r} e^{- m_\phi r}~,
\end{aligned}
\end{equation}
这是一个吸引势。由于有一个 $e^{-m_\phi r}$ 的随距离增加而减小的因子，Yukawa 相互作用是一个短程的相互作用。下面我们通过计算一阶树图的费曼矩阵元，利用 Born 近似给出非相对论情形下 Yukawa 势的结果。
1. $e^-e^-\rightarrow e^-e^-$ 的 Yukawa 势
我们先计算两体散射过程 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },s,+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },r,+ \right\rangle \rightarrow \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',+ \right\rangle $ 的费曼矩阵元忽略高圈图的贡献，我们只保留其树图的贡献。在这里 $+$ 代表费米子，$-$ 代表反费米子。要注意 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',+ \right\rangle $ 对应的左矢是 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+ \right\rvert = \left\langle 0 \right\rvert a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{r'} a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}^{s'}$，在我们计算过程中产生湮灭算符的顺序对结果的正负号非常重要。
最低阶的树图有两个，利用 Wick 定理写出其对应的两种 wick 缩并，再利用 Feynman 规则写出它对 Feynman 矩阵元的贡献：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\notag i\mathcal{M}&=
\frac{(-ig)^2}{2!}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} \int \,\mathrm{d}^{4}{y}
{
\langle\overset{1}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+};\overset{2}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+}|
(\overset{3}\phi \overset{1}{\bar{\psi}} \overset{4}\psi)_x
(\overset{3}\phi \overset{2}{\bar{\psi}} \overset{5}\psi)_y
|\overset{4}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+};\overset{5}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,+} \rangle
}+(x\leftrightarrow y)\\
&\quad +
\frac{(-ig)^2}{2!}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} \int \,\mathrm{d}^{4}{y}
\langle\overset{1}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+};\overset{2}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+}|
(\overset{3}\phi \overset{1}{\bar{\psi}} \overset{4}\psi)_x
(\overset{3}\phi \overset{2}{\bar{\psi}} \overset{5}\psi)_y
|\overset{5}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+};\overset{4}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,+} \rangle
+(x\leftrightarrow y)\\
&=(-ig)^2\left(
\bar u^{s'}(p')u^s(p) \frac{i}{(p'-p)^2-m_{\phi}^2} \bar u^{r'}(k') u^r(k)
\right.\\
&\left.\quad
-\bar u^{s'}(p')u^r(k) \frac{i}{(p'-k)^2-m_{\phi}^2} \bar u^{r'}(k') u^{s}(p) \right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
在非相对论极限下，两个费米子之间是可区分的，那么第二项可以被忽略。此外由于 $| \boldsymbol{\mathbf{p}} |\ll 1$，有如下的近似：$p=(m,{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^2),k=(m,{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }|^2),\cdots$,$(p-k)^2=-|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }-{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }|^2+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^4)$，因此对于 Dirac 旋量
式 16 ，其非相对论近似为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&u^r(k)=\sqrt{m} \begin{pmatrix}\xi^r\\ \xi^r\end{pmatrix}+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|),\quad \xi^{r\dagger}\xi^s=\delta_{rs}~,\\
&\bar u^s(p') u^r(p)=2m \delta_{rs}~.
\end{aligned}
\end{equation}
代入
式 3 我们得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
i\mathcal{M} = i g^2 (2m)^2 \frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^2+m_\phi^2}\delta_{s' s}\delta_{r' r}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这意味着非相对论极限下两个费米子的自旋不会发生改变。下面我们用这一结果来求解非相对论势 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$：它是非相对论势能算符 $V$ 的坐标表象 $V \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle =V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。
注意到 $\mathcal{S}$ 矩阵元的定义为 $\mathcal{S}_{\beta\alpha}=\delta_{\beta\alpha}+i\mathcal{T}_{\beta\alpha}$，而 $i\mathcal{T}=i\mathcal{M}(2\pi)^4 \delta^4(p'+k'-p-k)$, $i\mathcal{T} = \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iT \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $。根据一阶玻恩近似，$T$ 近似为非相对论势能算符 $V$ 再乘以 $-2\pi\delta(E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })$（式 14 式以及玻恩近似可得。）。为了求出势能算符的坐标表象的表达式，我们还需要注意这里的初态和末态的归一化问题：$\langle{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle=2m\cdot (2\pi)^3 \delta({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }) = 2m \langle{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle_{NR}$（'NR' 表示非相对论情形下粒子波函数的归一化），于是对于初态和末态都是双粒子的情形，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
i\mathcal{T}&=(2m)^2 \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iT \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle _{NR}\\
& =-(2m)^2 \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iV \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle _{NR} \cdot (2\pi) \delta(E_{{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })
\\
& = -i(2m)^2 \tilde{V}({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })(2\pi)^3 \delta({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'+{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }-{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\cdot (2\pi) \delta(E_{{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })\\
&=-i(2m)^2 \tilde{V}( \boldsymbol{\mathbf{q}} ) (2\pi)^4 \delta^4(p'+k'-p-k),\quad \boldsymbol{\mathbf{q}} ={ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式中 $\tilde V( \boldsymbol{\mathbf{q}} )$ 是非相对论情形下的势能算符 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 的动量表象，联系
式 5 可得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\tilde{V}( \boldsymbol{\mathbf{q}} )&=\frac{-g^2}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}\\
V({ \boldsymbol{\mathbf{x}} })&=\int \frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} } }{(2\pi)^3} \frac{-g^2}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}e^{i \boldsymbol{\mathbf{q}} \cdot { \boldsymbol{\mathbf{x}} }} =\frac{-g^2}{4\pi^2}\int_0^\infty \,\mathrm{d}{q} q^2\int_{-1}^1 \,\mathrm{d}{t} \frac{e^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|t}}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}\\
&= \frac{-g^2}{4\pi^2}\int_0^\infty \,\mathrm{d}{q} q^2\frac{e^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}-e^{-iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}}{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} \frac{1}{q^2+m_\phi^2}\\
&=\frac{ig^2}{4\pi^2|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}\int_{-\infty}^\infty \,\mathrm{d}{q} \frac{qe^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}}{q^2+m_\phi^2}\\
&=-\frac{g^2}{4\pi}\frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} e^{-m_\phi |{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这是一个吸引的 Yukawa 势，可以看到它与库仑势的形式非常相像。
2. $e^+e^-\rightarrow e^+e^-$ 的 Yukawa 势
我们再来考察两体散射过程 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },s,+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },r,- \right\rangle \rightarrow \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',- \right\rangle $，其中 $-$ 表示 $e^+$。类似前面的计算，这里的 Feynman 矩阵元为
\begin{equation}
\begin{aligned}
i\mathcal{M}&=(-ig)^2 \left(
-\bar u^{s'}(p')u^s(p) \frac{i}{|p'-p|^2-m_\phi^2} \bar v^{r}(k) v^{r'}(k')\right.\\
&\left.\quad + \bar u^{s'}(p')v^{r'}(k') \frac{i}{|p+k|^2-m_\phi^2} \bar v^{r}(k) u^s(p)\right)~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中第二项对应的 Feynman 图是正负电子对湮灭成光子再产生正负电子对。在非相对论极限下，$|p'-p|\ll |p+k|$，因此我们可以忽略第二项。利用 $\bar v^s(p') v^r(p)=-2m \delta_{rs}$，上式的结果与 $e^-e^-\rightarrow e^- e^-$ 过程的 Feynman 矩阵元是一样的，我们可以得到吸引的 Yukawa 势。
\[
V({ \boldsymbol{\mathbf{x}} })=-\frac{g^2}{4\pi}\frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} e^{-m_\phi |{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}~.
\]