贡献者： addis
本文只讨论有限维向量空间。
定理 1 正交分解
令 $M$ 为 $N$ 维内积空间 $X$ 的子空间。那么任意 $u\in X$ 有唯一的正交分解：
\begin{equation}
u = v + w \qquad (v\in M, w\in M^\bot)~,
\end{equation}
其中 $M^\bot$ 是 $M$ 在 $X$ 中的正交补空间（
定义 2 ）。
根据正交子空间的定义，分解后的两个向量正交：$ \left\langle v \middle| w \right\rangle = 0$，故有勾股定理（式 8 ）
\begin{equation}
\left\lVert u \right\rVert ^2 = \left\lVert v \right\rVert ^2 + \left\lVert w \right\rVert ^2~,
\end{equation}
其中范数使用内积定义 $ \left\lVert u \right\rVert = \sqrt{ \left\langle u \middle| u \right\rangle }$。
例 1 三维几何矢量的正交分解
三维几何向量 空间 $X$ 中，一个过原点的平面是它的一个子空间 $M \subset X$，该平面过原点的法线就是它的正交补空间 $M^\bot$。 任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in X$ 可以唯一地正交分解成 $M$ 上的一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和法线上的一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $，且满足勾股定理 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ^2 = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 + \boldsymbol{\mathbf{w}} ^2$。
未完成：图
这只是定理 1 一个很显然的例子，若考虑 4 维几何矢量空间中矢量正交分解到两个正交的 2 维平面上，则唯一性就没那么显然了。
证明：令 $M$ 和 $M^\bot$ 的一组正交归一基底分别为 $\{\alpha_i\}$ 和 $\{\beta_i\}$。那么它们的并集就是 $X$ 的一组正交归一基底（定理 2 ）。将 $u$ 分解到基底上有
\begin{equation}
u = \sum_i a_i \alpha_i + \sum_j b_j \beta_j~,
\end{equation}
该分解是唯一的。证毕。
定义 1 投影算符
对每个子空间 $M\subseteq X$，我们定义对应的（正交）投影算符 $P_M$ 根据式 1 将每个 $u\in X$ 映射到 $v\in M$。
定理 2
令投影算符 $P$ 将 $N$ 维空间 $X$ 中的矢量（正交）投影到其子空间 $M$ 中，若 $ \left\{\mu_i \right\} $ 是 $M$ 的一组正交归一基底。那么投影算符可以用狄拉克符号表示为（见式 2 ）
\begin{equation}
P = \sum_i \left\lvert \mu_i \right\rangle \left\langle \mu_i \right\rvert ~.
\end{equation}
1. 投影算符是厄米算符
投影算符 $P$ 是厄米算符（也叫自伴算符），即对任意 $u, v\in X$ 满足 $ \left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \left\langle Pu \middle| v \right\rangle $。
投影算符有 $0$ 和 $1$ 两个本征值。对应的本征矢分别是 $M$ 和 $M^\bot$ 空间中的所有矢量。
证明
对任意 $u, v\in X$，有
\begin{equation}
\left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle Pu \middle| v \right\rangle = \overline { \left\langle v \middle| Pu \right\rangle } = \sum_i \overline{\ \left\langle v \middle| a_i \right\rangle }\overline{ \left\langle a_i \middle| u \right\rangle } = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle = \left\langle u \middle| Pv \right\rangle ~.
\end{equation}
证毕。