个体词、谓词与量词(数理逻辑)

                     

贡献者: int256

预备知识 原子命题,量词的连接词

1. 定义

定义 1 个体词

   在原子命题中,可以独立存在的客体(句子中的主语、宾语等),称为个体词,可以是个体常量个体变量

  • 个体常量表示特定的或具体的个体,是不变的,一般用带或不带下标的小写字母 $a, b, c, \dots, a_1, a_2, \dots$ 表示。
  • 个体变量表示泛指的或抽象的、不定的个体,是变化的,一般用带或不带下标的小写字母 $x, y, z, \dots, x_1, x_2, \dots$ 表示。

定义 2 论域

   所有个体词的取值范围称为论域(或取值域),常用字母 $D$ 表示。

定义 3 谓词

   用以刻画客体的属性或心智(类似于一元函数),或多个客体之间的关系(类似于多元函数)的词称为谓词

定义 4 量词

   表达个体词的数量或数量关系的称为量词。

定义 5 全称量词

   $\forall x$ 表示全称量词,即 “任意 $x$”、“每个 $x$”、“一切的 $x$”......

   符号化时,全称量词 $\forall$ 一般都接 $\to$ 连接词。

定义 6 存在量词

   $\exists x$ 表示存在量词,即 “存在 $x$”、“至少有一个 $x$”......

   符号化时,存在量词 $\exists$ 一般都接 $\land$(合取、并且)连接词。

定义 7 作用变量与辖域

   对于全称量词 $\forall x$ 与存在量词 $\exists x$,对应的符号 $\forall$ 与 $\exists$ 紧接一个变量 $x$,这变量就称作作用变量

   一般将量词加到其谓词之前,描述这个句子或句子的一部分的个体词的数量或数量关系,此时就称这个部分的谓词是这量词的辖域。例如 $(\forall x) F(x)$,则 $F(x)$ 就是这个全称量词的辖域。

定义 8 自由变元与约束变元

   有量词约束而在对应量词的辖域范围内的称为约束变元

   无量词约束的称为自由变元

2. 例子

   个体词、谓词与量词的定义比较抽象,下面借助几个例子来理解。

例 1 谓词的例子

   用 $P(x)$ 表示 $x$ 是北方人、$Q(x)$ 表示 $x$ 怕冷,$c$ 表示李华,符号化下面这个句子:

   除非李华是北方人,否则李华一定怕冷。

   首先表示为命题逻辑的形式,先用 $p$ 表示 “李华怕冷”,用 $q$ 表示 “李华是北方人”,原来的句子就可以化作

\begin{equation} \neg p \to q ~. \end{equation}
显然 $p$ 就是 $Q(c)$,而 $q$ 就是 $P(c)$,所以这句子就可以化为
\begin{equation} \neg Q(c) \to P(c) ~. \end{equation}

例 2 全称量词的例子

   符号化下面这个句子:

   所有人的头发都是黑色的。

   显然这是一个全称量词的句子,我们用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(x)$ 表示 $x$ 长有黑头发,则原句可以表示为:

\begin{equation} (\forall x)(P(x) \to Q(x)) ~. \end{equation}

例 3 存在量词的例子

   符号化:有的人登上过月球。

   这里 “有的” 就是一个存在量词的例子。我们仍用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(x)$ 表示 $x$ 上过月球,则原句可以表示为:

\begin{equation} (\exists x)(P(x) \land Q(x)) ~. \end{equation}

例 4 

   符号化:所有人都不喜欢杂草。

   仍用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(y)$ 表示 $y$ 是杂草、$L(x, y)$ 表示 $x$ 喜欢 $y$,则原句可以表示为:

\begin{equation} \forall x(P(x) \to \forall y(Q(y) \to \neg L(x, y))) ~, \end{equation}
\begin{equation} \forall x \forall y (P(x) \land Q(y) \to \neg L(x, y)) ~. \end{equation}

                     

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