公式的基本等价关系（数理逻辑）

定理 1　公式的基本等价关系

　　 令 $A, B, C$ 都是任意的合式公式，则有以下的关系成立：

1. 幂等律：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \land A &\Leftrightarrow A,\\ A \lor A &\Leftrightarrow A~. \end{aligned} \end{equation}
2. 交换律：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \land B &\Leftrightarrow B \land A,\\ A \lor B &\Leftrightarrow B \lor A ~. \end{aligned} \end{equation}
3. 结合律：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \land (B \land C) &\Leftrightarrow (A \land B) \land C, \\ A \lor (B \lor C) &\Leftrightarrow (A \lor B) \lor C ~. \end{aligned} \end{equation}
4. 同一律：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \land 1 &\Leftrightarrow A, \\ A \lor 0 &\Leftrightarrow A ~. \end{aligned} \end{equation}
5. “分配律”：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \lor (B \land C) &\Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C) ,\\ A \land (B \lor C) &\Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C) ~. \end{aligned} \end{equation}
6. 逆否（假言易位）：
   \begin{equation} (A \to B) \Leftrightarrow ((\neg B) \to (\neg A)) ~. \end{equation}
7. 吸收率：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \lor (A \land B) &\Leftrightarrow A, \\ A \land (A \lor B) &\Leftrightarrow A ~. \end{aligned} \end{equation}
8. 矛盾率与排中律：
   \begin{equation} \begin{aligned} A \land (\neg A) &\Leftrightarrow 0, \\ A \lor (\neg A) &\Leftrightarrow 1~. \end{aligned} \end{equation}
9. 双重否定：
   \begin{equation} \neg (\neg A) \Leftrightarrow A ~. \end{equation}
10. 德摩根定率（De Morgan's laws）：
    \begin{equation} \begin{aligned} \neg(A \lor B) &\Leftrightarrow (\neg A) \land (\neg B) , \\ \neg(A \land B) &\Leftrightarrow (\neg A) \lor (\neg B) ~. \end{aligned} \end{equation}
11. 蕴含：
    \begin{equation} A \to B \Leftrightarrow (\neg A) \lor B~. \end{equation}
12. 等价：
    \begin{equation} (A \leftrightarrow B) \Leftrightarrow ((A \to B) \land (B \to A)) ~. \end{equation}