等距变换

贡献者：叶月2_

预备知识　伴随映射，正交空间与辛空间

定义 1　

　　 $(V, f), (V^{'}, f^{'})$ 是两个正交空间或辛空间。若线性映射 $σ : (V, f) \to (V^{'}, f^{'})$ 是双射且保内积不变，即

\begin{matrix} (1) & f (x, y) = f^{'} (σ x, σ y), \end{matrix}

则称

σ

是等距映射（isometry）。若

σ : (V, f) \to (V, f)

，则称之为等距变换。

　　由于等距变换是线性映射，因此保加法和数乘运算，是全体向量的自同构映射。由定义式可知，等距变换复合依然是等距变换。因此全体等距变换的集合可记作 $Aut (V, f)$ ，表明其自同构成群和保内积的性质。从正交变换的定义 1 可知，正交变换特指欧式空间中度量矩阵为 $E$ 的等距变换，因此我们可以拓展正交变换的定义为非退化正交空间的等距变换，并称非退化辛空间的等距变换为辛变换。

　　等距变换的保内积性质意味着其必然受度量矩阵限制。设 $σ, f$ 的矩阵表示分别为 $A$ 和 $G$ ，任意向量 $x, y \in V$ ，则有 $x^{T} G y = (A x)^{T} G (A y)$ ，也就是说：

\begin{matrix} (2) & A^{T} G A = G . \end{matrix}

　　若 $(V, f)$ 是非退化的正交空间和辛空间，则其上的线性变换都可以诱导出伴随变换，所以若设等距变换的伴随变换为 $σ^{'} : V \to V$ ，则有 $f (σ (x), y) = f (x, σ^{'} (y))$ ，因此其伴随变换的形式必然也受度量矩阵约束。

定理 1　

　　设 $(V, f)$ 为 n 维非退化正交（辛）空间， $σ$ 是双射线性变换, $σ^{'}$ 是其伴随变换。则 $σ$ 是等距变换当且仅当 $σ^{'} σ = 1$

　　 证明：

　　设 $x, y$ 是任意两个向量， $σ$ 是等距变换，由定义得： $f (σ (x), σ (y)) = f (x, σ^{'} σ (y)) = f (x, y)$ 。

　　因此， $f (x, σ^{'} σ (y) - y) = 0$ 对任意 $x$ 成立。由于非退化线性空间的根只有零向量，所以 $σ^{'} σ (y) = y$ ，得证。

　　欧几里得空间上的正交变换有一系列结论，比如引理 3 可以拓展到非退化正交（辛）空间：

定理 2　

　　 $(V, f)$ 为非退化正交（辛）空间，若 $W$ 是等距变换 $σ$ 的不变子空间，则其正交补 $W^{⊥}$ 也为该变换的不变子空间。

　　 证明：

　　为证明方便，接下来用 $(,)$ 表广义内积运算，即 $(x, y) \equiv f (x, y)$ 。

　　设任意 $x \in W, y \in W^{⊥}$ ，则由定义得 $(σ (x), σ (y)) = (x, y) = 0$ 。由于 $W$ 是 $σ$ 的不变子空间，则 $σ (x) \in W$ 。因此 $σ (y) \in W^{⊥}$ ，得证。

　　非退化线性空间是可以有退化的子空间的。比如 $f (e_{1}, e_{1}) = - 1, f (e_{2}, e_{2}) = 1$ 则 $e_{1} + e_{2}$ 对应的一维子空间便是退化的。根据定理 2 和定理 3 可知，若 $W$ 是非退化的，则 $V$ 内总存在一组基使得 $V = W \oplus W^{⊥}$ 。因此，如果 $W$ 同时还是某一等距变换的不变子空间，则该等距变换在 $V$ 下是块对角形式。