等距变换

贡献者：叶月2_

预备知识　伴随映射，正交空间与辛空间

定义 1　

　　 $(V,f),(V',f')$ 是两个正交空间或辛空间。若线性映射 $\sigma:(V,f)\rightarrow (V',f')$ 是双射且保内积不变，即

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=f'(\sigma \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\sigma \boldsymbol{\mathbf{y}} )~, \end{equation}

则称 $\sigma $ 是等距映射（isometry）。若 $\sigma:(V,f)\rightarrow (V,f)$，则称之为等距变换。

　　由于等距变换是线性映射，因此保加法和数乘运算，是全体向量的自同构映射。由定义式可知，等距变换复合依然是等距变换。因此全体等距变换的集合可记作 $ \operatorname {Aut}(V,f)$，表明其自同构成群和保内积的性质。从正交变换的定义 1 可知，正交变换特指欧式空间中度量矩阵为 $E$ 的等距变换，因此我们可以拓展正交变换的定义为非退化正交空间的等距变换，并称非退化辛空间的等距变换为辛变换。

　　等距变换的保内积性质意味着其必然受度量矩阵限制。设 $\sigma,f$ 的矩阵表示分别为 $A$ 和 $G$，任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$，则有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{T}G \boldsymbol{\mathbf{y}} =(A \boldsymbol{\mathbf{x}} )^TG(A \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，也就是说：

\begin{equation} A^TGA=G~. \end{equation}

　　若 $(V,f)$ 是非退化的正交空间和辛空间，则其上的线性变换都可以诱导出伴随变换，所以若设等距变换的伴随变换为 $\sigma':V\rightarrow V$，则有 $f(\sigma( \boldsymbol{\mathbf{x}} ), \boldsymbol{\mathbf{y}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\sigma'( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))$，因此其伴随变换的形式必然也受度量矩阵约束。

定理 1　

　　设 $(V,f)$ 为 n 维非退化正交（辛）空间，$\sigma$ 是双射线性变换,$\sigma'$ 是其伴随变换。则 $\sigma$ 是等距变换当且仅当 $\sigma'\sigma=1$

　　 证明：

　　设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是任意两个向量，$\sigma$ 是等距变换，由定义得：$f(\sigma( \boldsymbol{\mathbf{x}} ),\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\sigma'\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )$。

　　因此，$f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ,\sigma'\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} )- \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$ 对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 成立。由于非退化线性空间的根只有零向量，所以 $\sigma'\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} )= \boldsymbol{\mathbf{y}} $，得证。

　　欧几里得空间上的正交变换有一系列结论，比如引理 3 可以拓展到非退化正交（辛）空间：

定理 2　

　　 $(V,f)$ 为非退化正交（辛）空间，若 $W$ 是等距变换 $\sigma$ 的不变子空间，则其正交补 $W^{\bot}$ 也为该变换的不变子空间。

　　 证明：

　　为证明方便，接下来用 $(,)$ 表广义内积运算，即 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )\equiv f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} ) $。

　　设任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in W, \boldsymbol{\mathbf{y}} \in W^{\bot}$，则由定义得 $(\sigma ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ),\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} ))=( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$。由于 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，则 $\sigma ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\in W$。因此 $\sigma( \boldsymbol{\mathbf{y}} )\in W^{\bot}$，得证。

　　非退化线性空间是可以有退化的子空间的。比如 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=-1,f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2)=1$ 则 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{e}} _2$ 对应的一维子空间便是退化的。根据定理 2 和定理 3 可知，若 $W$ 是非退化的，则 $V$ 内总存在一组基使得 $V=W\oplus W^{\bot}$。因此，如果 $W$ 同时还是某一等距变换的不变子空间，则该等距变换在 $V$ 下是块对角形式。