单体算符

贡献者： _Eden_; addis

预备知识　二次量子化

　　现在我们来考察多体系统量子力学的单体算符。具体而言，我们希望考察多体系统中单粒子相关的物理量，由于是可观测的物理量，我们研究的单体算符是 Fock 空间 $F$ 上的幺正算符。

　　回忆一下 Fock 空间的定义式 2 ，我们知道它可以根据粒子数不同划分为多个子 Hilbert 空间的直和：

\begin{matrix} (1) & F = H_{1} \oplus H_{2} \oplus \dots \end{matrix}

根据我们对内积的定义，对于两个态矢量

v_{i} \in H_{i}, v_{j} \in H_{j}

，当

i \neq j

时

v_{i}, v_{j}

的内积一定是

0

。而我们又希望单体算符

A^{(1)}

所对应的物理量由

⟨ v | A^{(1)} | v ⟩

给出，这实际上告诉我们

A^{(1)}

作用于

v_{i} \in H_{i}

后所得到的态矢量

A^{(1)} | v_{i} ⟩

也一定属于

H_{i}

。因此当我们限制在每个子空间

H_{i}

上以后，

A^{(1)}

仍然是幺正算符。这不仅对单体算符成立，对于两体算符和

n

体算符这都是成立的。

　　在我们考察单体算符的形式定义之前，我们先来看一个最简单的例子：粒子数算符。

1. 粒子数算符

　　设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基是 $| 1 ⟩, | 2 ⟩, \dots$ ，基于这一组基底，可以根据定义式 10 与式 12 构造多体系统的产生湮灭算符：

\begin{matrix} (2) & a_{1}, a_{1}^{†}, a_{2}, a_{2}^{†}, \dots \end{matrix}

那么粒子数算符被定义为

\begin{matrix} (3) & \hat{N} = \sum_{i} a_{i}^{†} a_{i} . \end{matrix}

根据产生湮灭算符之间的对易关系，我们很容易能证明，对于玻色子系统：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} [\hat{N}, a_{i}^{†}]_{-} = a_{i}^{†}, [\hat{N}, a_{i}]_{-} = - a_{i}, \\ \hat{N} (a_{1}^{†})^{n_{1}} (a_{2}^{†})^{n_{2}} \dots | 0 ⟩ = (n_{1} + n_{2} + \dots) (a_{1}^{†})^{n_{1}} (a_{2}^{†})^{n_{2}} \dots | 0 ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

而对于费米子系统¹：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} [\hat{N}, a_{i}^{†}]_{+} = a_{i}^{†}, [\hat{N}, a_{i}]_{+} = a_{i}, \\ \hat{N} a_{i_{1}}^{†} a_{i_{2}}^{†} \dots a_{i_{n}}^{†} | 0 ⟩ = n a_{i_{1}}^{†} a_{i_{2}}^{†} \dots a_{i_{n}}^{†} | 0 ⟩, i_{j} \neq i_{k} (j \neq k), \end{aligned} \end{matrix}

这也就意味着对于

v_{n} \in H_{n}

，

\hat{N} v_{n} = n v_{n}

。所以 Fock 空间的直和分解式 1 实际上是将整个 Hilbert 空间按照粒子数算符的本征值划分为了不同的子空间。

　　如果我们将单粒子 Hilbert 空间的基底 $| 1 ⟩, | 2 ⟩, \dots$ 切换到坐标表象下的基底 $| x ⟩, \dots$ ，那么产生湮灭算符与原先的产生湮灭算符之间有式 21 的等式关系。此时产生湮灭算符之间的对易关系为 $[a_{x}, a_{y}^{†}]_{- ξ} = δ^{3} (x - y)$ ，而粒子数算符为

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} \hat{N} = \int d^{3} x a_{x}^{†} a_{x} . \end{array} \end{matrix}

注意相比于式 3 ，求和变为了空间积分，这是符合我们的预期的。类似地，如果切换到动量表象下，我们有

[a_{k}, a_{q}]_{- ξ} = (2 π)^{3} δ (k - q)

，而粒子数算符为

\begin{matrix} (7) & \begin{array}{r} \hat{N} = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} a_{p}^{†} a_{p}, \end{array} \end{matrix}

注意积分测度的变化。

2. 单体算符的形式定义

　　当我们构造单粒子 Hilbert 空间上的物理量时，我们只需要用到 $\hat{x}, \hat{p} = - i ℏ \partial_{x}$ 这两个算符（显然它们是幺正的），利用它们可以表达哈密顿量、角动量等等，假设作用于单粒子 Hilbert 空间上的单体算符的形式为 $A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p})$ （如果是三维空间，那括号内就包含三个反向上的坐标和动量算符）。

　　假设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基为 $| 1 ⟩, | 2 ⟩, \dots$ 。此时单粒子 Hilbert 空间上单体算符可以表达为

\begin{matrix} (8) & A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = \sum_{α β} A_{α β} | α ⟩ ⟨ β |, \end{matrix}

其中

A_{α β}

为

A^{(1)}

算符的矩阵表示。现在考察多体系统，多粒子态

| ψ_{1}, \dots, ψ_{N} ⟩

不再是

N

个单粒子态的简单的张量积，因为交换对称性，我们需要仔细考虑。由于 Fock 空间可以表达为一系列多粒子态

| i j k \dots ⟩

的直和，我们只需要去考量算符

{\hat{A}}^{(1)}

作用在

| ψ_{1} ψ_{2} \dots ψ_{N} ⟩

上的结果即可。我们期待单体算符

{\hat{A}}^{(1)}

能够被写为

\begin{matrix} (9) & {\hat{A}}^{(1)} = \sum_{i} A^{(1)} ({\hat{x}}_{i}, {\hat{p}}_{i}), \end{matrix}

其中算符

A^{(1)} (x_{i}, p_{i})

仅仅作用于多粒子态的

ψ_{i}

成分上。具体而言：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ⟨ x_{1}, \dots, x_{N} | {\hat{A}}^{(1)} | ψ_{1}, \dots, ψ_{N} ⟩ & = \sum_{i = 1}^{N} A^{(1)} ({\hat{x}}_{i}, - i ℏ {\hat{\partial}}_{x_{i}}) \sum_{P} ξ^{P} ψ_{1} (x_{p_{1}}) ψ_{2} (x_{p_{2}}) \dots \\ = \sum_{P} ξ^{P} α (x_{p_{1}}) A_{α β}^{(1)} ⟨ β | ψ_{1} ⟩ ψ_{2} (x_{p_{2}}) ψ_{3} (x_{p_{3}}) \dots \\ + \sum_{P} ξ^{P} ψ_{1} (x_{p_{1}}) α (x_{p_{2}}) A_{α β}^{(2)} ⟨ β | ψ_{2} ⟩ ψ_{3} (x_{p_{3}}) \dots \\ + \dots \\ = \sum_{α β} A_{α β}^{(1)} (⟨ β | ψ_{1} ⟩ ⟨ x_{1}, \dots, x_{N} | α, ψ_{2}, \dots, ψ_{N} ⟩ \\ + ⟨ β | ψ_{2} ⟩ ⟨ x_{1}, \dots, x_{N} | ψ_{1}, α, \dots, ψ_{N} ⟩ + \dots) \\ = ⟨ x_{1}, \dots, x_{N} | \sum_{α β} A_{α β}^{(1)} a^{†} (α) a (β) | ψ_{1}, \dots, ψ_{N} ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

最后一行利用了式 14 。上式对任意的

x_{1}, \dots, x_{N}, ψ_{1}, \dots, ψ_{N}

都成立，这也就意味着单体算符

A^{(1)}

总是可以表达为

\begin{matrix} (11) & \begin{array}{r} {\hat{A}}^{(1)} = \sum_{α β} A_{α β}^{(1)} a^{†} (α) a (β), \end{array} \end{matrix}

这就是单体算符的形式定义。

3. 动量算符、能量算符和粒子数密度算符

　　下面来举一些单体算符的例子。

例 1　粒子数算符

　　对于粒子数算符 $\hat{N}$ ， $A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = 1$ ，因此作用于 $| ψ_{1}, \dots, ψ_{N} ⟩$ 的本征值为 $\sum_{i = 1}^{N} 1 = N$ 。

　　此时 $A_{α β}^{(1)} = δ_{α β}$ ，根据式 11 可以得到

\begin{matrix} (12) & \hat{N} = \sum_{α} a^{†} (α) a (α) . \end{matrix}

例 2　动量算符

　　对于动量算符 $\hat{P}$ ，我们期待 $A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = \hat{p}$ 。那么在动量表象下 $A_{p q}^{(q)} = (2 π)^{3} q δ^{3} (p - q)$ ，因此容易证明

\begin{matrix} (13) & \begin{array}{r} \hat{P} = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} q}{(2 π)^{3}} (2 π)^{3} p δ^{3} (p - q) a^{†} (p) a (q) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} p a^{†} (p) a (p) . \end{array} \end{matrix}

例 3　能量算符

　　对于能量算符 $\hat{H}$ ，我们期待 $A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = \frac{1}{2 m} {\hat{p}}^{2}$ 。同样地在动量表象下，我们有

\begin{matrix} (14) & \begin{array}{r} \hat{H} = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{| p |^{2}}{2 m} a^{†} (p) a (p) . \end{array} \end{matrix}

例 4　粒子数密度算符

　　如果我们希望考察多体系统在某个给定坐标 $y$ 处的粒子数密度 $ρ_{y}$ ，那么我们可以令 $A^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = δ^{3} (\hat{x} - y)$ ，在这样的定义下，容易得到 $\int d^{3} y A_{y}^{(1)} (\hat{x}, \hat{p}) = 1$ ，这正好对应于粒子数算符： $\int d^{3} y ρ_{y} = \hat{N}$ ，这是符合我们的期待的。因此在这样的定义下

\begin{matrix} (15) & ρ_{y} = a^{†} (y) a (y) . \end{matrix}

1. ^ 也就是说产生湮灭算符之间满足 $[a_{i}, a_{j}^{†}]_{+} = δ_{i j}$ 的反对易关系。 $[\cdot, \cdot]_{+}$ 符号常常也写为 ${\cdot, \cdot}$ 。

单体算符

1. 粒子数算符

2. 单体算符的形式定义

3. 动量算符、能量算符和粒子数密度算符

例 1 粒子数算符

例 2 动量算符

例 3 能量算符

例 4 粒子数密度算符

例 1　粒子数算符

例 2　动量算符

例 3　能量算符

例 4　粒子数密度算符