贡献者： _Eden_; addis
现在我们来考察多体系统量子力学的单体算符。具体而言，我们希望考察多体系统中单粒子相关的物理量，由于是可观测的物理量，我们研究的单体算符是 Fock 空间 $\mathcal{F}$ 上的幺正算符。
回忆一下 Fock 空间的定义式 2 ，我们知道它可以根据粒子数不同划分为多个子 Hilbert 空间的直和：
\begin{equation}
\mathcal{F}=\mathcal{H}_1\oplus \mathcal{H}_2\oplus \cdots~
\end{equation}
根据我们对内积的定义，对于两个态矢量 $v_i\in \mathcal{H}_i, v_j\in \mathcal{H}_j$，当 $i\neq j$ 时 $v_i,v_j$ 的内积一定是 $0$。而我们又希望单体算符 $A^{(1)}$ 所对应的物理量由 $ \left\langle v \right\rvert A^{(1)} \left\lvert v \right\rangle $ 给出，这实际上告诉我们 $A^{(1)}$ 作用于 $v_i\in \mathcal{H}_i$ 后所得到的态矢量 $A^{(1)} \left\lvert v_i \right\rangle $ 也一定属于 $\mathcal{H}_i$。因此当我们限制在每个子空间 $\mathcal{H}_i$ 上以后，$A^{(1)}$ 仍然是幺正算符。这不仅对单体算符成立，对于两体算符和 $n$ 体算符这都是成立的。
在我们考察单体算符的形式定义之前，我们先来看一个最简单的例子：粒子数算符。
1. 粒子数算符
设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基是 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$，基于这一组基底，可以根据定义式 10 与式 12 构造多体系统的产生湮灭算符：
\begin{equation}
a_1,a^\dagger_1,a_2,a^\dagger_2,\cdots~
\end{equation}
那么粒子数算符被定义为
\begin{equation}
\hat N=\sum_i a_i^\dagger a_i~.
\end{equation}
根据产生湮灭算符之间的对易关系，我们很容易能证明，对于玻色子系统：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&[\hat N,a_i^\dagger]_-=a_i^\dagger,\quad [\hat N,a_i]_-=-a_i~,\\
&\hat N (a_1^\dagger)^{n_1} (a_2^\dagger)^{n_2}\cdots \left\lvert 0 \right\rangle = (n_1+n_2+\cdots) (a_1^\dagger)^{n_1} (a_2^\dagger)^{n_2}\cdots \left\lvert 0 \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
而对于费米子系统
1：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&[\hat N,a_i^\dagger]_+=a_i^\dagger,\quad [\hat N,a_i]_+=a_i~,\\
&\hat N a_{i_1}^\dagger a_{i_2}^\dagger \cdots a_{i_n}^\dagger \left\lvert 0 \right\rangle = n a_{i_1}^\dagger a_{i_2}^\dagger \cdots a_{i_n}^\dagger \left\lvert 0 \right\rangle ,\quad i_j\neq i_k(j\neq k)~,
\end{aligned}
\end{equation}
这也就意味着对于 $v_n\in \mathcal{H_n}$，$\hat N v_n=n v_n$。所以 Fock 空间的直和分解
式 1 实际上是将整个 Hilbert 空间按照粒子数算符的本征值划分为了不同的子空间。
如果我们将单粒子 Hilbert 空间的基底 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$ 切换到坐标表象下的基底 $ \left\lvert x \right\rangle ,\cdots$，那么产生湮灭算符与原先的产生湮灭算符之间有式 21 的等式关系。此时产生湮灭算符之间的对易关系为 $[a_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} },a_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }^\dagger]_{-\xi}=\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，而粒子数算符为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat N=\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } a_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意相比于
式 3 ，求和变为了空间积分，这是符合我们的预期的。类似地，如果切换到动量表象下，我们有 $[a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },a_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }]_{-\xi}= (2\pi)^3 \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$，而粒子数算符为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat N=\int \frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }~,
\end{aligned}
\end{equation}
注意积分测度的变化。
2. 单体算符的形式定义
当我们构造单粒子 Hilbert 空间上的物理量时，我们只需要用到 $\hat x,\ \hat p=-i\hbar \partial_x$ 这两个算符（显然它们是幺正的），利用它们可以表达哈密顿量、角动量等等，假设作用于单粒子 Hilbert 空间上的单体算符的形式为 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)$（如果是三维空间，那括号内就包含三个反向上的坐标和动量算符）。
假设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基为 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$。此时单粒子 Hilbert 空间上单体算符可以表达为
\begin{equation}
A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta} \left\lvert \alpha \right\rangle \left\langle \beta \right\rvert ~,
\end{equation}
其中 $A_{\alpha\beta}$ 为 $A^{(1)}$ 算符的矩阵表示。现在考察多体系统，多粒子态 $ \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle $ 不再是 $N$ 个单粒子态的简单的张量积，因为交换对称性，我们需要仔细考虑。由于 Fock 空间可以表达为一系列多粒子态 $ \left\lvert ijk\cdots \right\rangle $ 的直和，我们只需要去考量算符 $\hat A^{(1)}$ 作用在 $ \left\lvert \psi_1 \psi_2 \cdots\psi_N \right\rangle $ 上的结果即可。我们期待单体算符 $\hat A^{(1)}$ 能够被写为
\begin{equation}
\hat A^{(1)}=\sum_{i} A^{(1)}(\hat x_i,\hat p_i)~,
\end{equation}
其中算符 $A^{(1)}(x_i,p_i)$ 仅仅作用于多粒子态的 $\psi_i$ 成分上。具体而言：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_1,\cdots,x_N \right\rvert \hat A^{(1)} \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle &=\sum_{i=1}^N A^{(1)}(\hat x_i,-i\hbar\hat\partial_{x_i})\sum_{P} \xi^P \psi_1(x_{p_1})\psi_2(x_{p_2})\cdots\\
&=\sum_{P}\xi^P \alpha(x_{p_1})A_{\alpha\beta}^{(1)} \left\langle \beta \middle| \psi_1 \right\rangle \psi_2(x_{p_2})\psi_3(x_{p_3})\cdots\\
&\quad +\sum_P\xi^P \psi_1(x_{p_1})\alpha(x_{p_2})A_{\alpha\beta}^{(2)} \left\langle \beta \middle| \psi_2 \right\rangle \psi_3(x_{p_3})\cdots\\
&\quad +\cdots \\
&=\sum_{\alpha\beta} A_{\alpha\beta}^{(1)}\left( \left\langle \beta \middle| \psi_1 \right\rangle \left\langle x_1,\cdots,x_N \middle| \alpha,\psi_2,\cdots,\psi_N \right\rangle \right.\\
&\left.\quad \quad\quad+ \left\langle \beta \middle| \psi_2 \right\rangle \left\langle x_1,\cdots,x_N \middle| \psi_1,\alpha,\cdots,\psi_N \right\rangle +\cdots\right)\\
&= \left\langle x_1,\cdots,x_N \right\rvert \sum_{\alpha\beta} A_{\alpha\beta}^{(1)}a^\dagger(\alpha)a(\beta)
\left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle ~,
\end{aligned}
\end{equation}
最后一行利用了
式 14 。上式对任意的 $x_1,\cdots,x_N,\psi_1,\cdots,\psi_N$ 都成立，这也就意味着单体算符 $A^{(1)}$ 总是可以表达为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat A^{(1)}=\sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}^{(1)}a^\dagger(\alpha)a(\beta)~,
\end{aligned}
\end{equation}
这就是单体算符的形式定义。
3. 动量算符、能量算符和粒子数密度算符
下面来举一些单体算符的例子。
例 1 粒子数算符
对于粒子数算符 $\hat N$，$A^{(1)}(\hat x,\hat p)=1$，因此作用于 $ \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle $ 的本征值为 $\sum_{i=1}^N 1=N$。
此时 $A_{\alpha\beta}^{(1)}=\delta_{\alpha\beta}$，根据式 11 可以得到
\begin{equation}
\hat N=\sum_{\alpha} a^\dagger(\alpha) a(\alpha)~.
\end{equation}
例 2 动量算符
对于动量算符 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }$，我们期待 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }$。那么在动量表象下 $A_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol{\mathbf{q}} }^{(q)}=(2\pi)^3 \boldsymbol{\mathbf{q}} \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$，因此容易证明
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} } }{(2\pi)^3} (2\pi)^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{q}} )=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \boldsymbol{\mathbf{p}} a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{p}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 3 能量算符
对于能量算符 $\hat H$，我们期待 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\frac{1}{2m}\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2$。同样地在动量表象下，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{H}=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \frac{| \boldsymbol{\mathbf{p}} |^2}{2m} a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{p}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 4 粒子数密度算符
如果我们希望考察多体系统在某个给定坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的粒子数密度 $\rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }$，那么我们可以令 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\delta^3(\hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }- \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，在这样的定义下，容易得到 $\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{y}} } A^{(1)}_{\ \boldsymbol{\mathbf{y}} }(\hat x,\hat p)=1$，这正好对应于粒子数算符：$\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{y}} } \rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }=\hat N$，这是符合我们的期待的。因此在这样的定义下
\begin{equation}
\rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }=a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{y}} )a( \boldsymbol{\mathbf{y}} )~.
\end{equation}
1. ^ 也就是说产生湮灭算符之间满足 $[a_i,a_j^\dagger]_+=\delta_{ij}$ 的反对易关系。$[\cdot,\cdot]_+$ 符号常常也写为 $\{\cdot,\cdot\}$。