Hubbard 模型

贡献者： certain_pineapple

预备知识　二次量子化

1. Hubbard 模型的哈密顿量

　　在本节中，通过对电子多体系统之间的相互作用进行近似计算，仅考虑其中的库伦相互作用来得到 Hubbard 模型的哈密顿量。

　　选择原子轨道基 $| j ⟩ = c_{j}^{†} | 0 ⟩$ ，写出系统的哈密顿量：

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{i, j, σ} ⟨ i | H_{0} | j ⟩ c_{i, σ}^{†} c_{j, σ} + \sum_{l, m, k, n, σ, σ^{'}} ⟨ l, m | V | k, n ⟩ c_{l, σ}^{†} c_{m, σ^{'}}^{†} c_{n, σ^{'}} c_{k, σ} . \end{matrix}

　　上式中的 $H_{0}$ 代表动能部分的哈密顿量，其对应的 $\sum_{i, j, σ} ⟨ i | H_{0} | j ⟩ c_{i, σ}^{†} c_{j, σ}$ 部分为跃迁项。

　　上式中后一部分代表相互作用项，由于库仑相互作用并不影响自旋，所以电子被相互作用散射后自旋不变，这一点在哈密顿量中的体现则为发生散射后原本自旋为 $σ$ 的粒子自旋还为 $σ$ ，自旋为 $σ^{'}$ 的粒子散射后自旋还为 $σ^{'}$ 。也就是说上式中后一项中 $l$ 和 $k$ 对应的是同一粒子的两个态，而 $m$ 和 $n$ 对应的是同一个粒子的两个态。

　　下面分别对哈密顿量的两项进行近似计算。

跃迁项

　　作为近似，我们仅考虑最近邻跃迁：

\begin{matrix} (2) & ⟨ i | H_{0} | j ⟩ = {\begin{array}{lc} ε, i = j, \\ - t, i, j 最近邻， \\ 0, 其他情况。 \end{array} \end{matrix}

　　这样便有：

\begin{matrix} (3) & \sum_{i, j, σ} ⟨ i | H_{0} | j ⟩ c_{i, σ}^{†} c_{j, σ} = \sum_{i, σ} ε c_{i, σ}^{†} c_{i, σ} - \sum_{i, Δ, σ} t (c_{i + Δ, σ}^{†} c_{i, σ} + h . c .) . \end{matrix}

相互作用项

　　考虑库仑相互作用是按照 $r^{- 1}$ 衰减的，且:

　　 $⟨ l, m | V | k, n ⟩ = \iint ϕ_{l}^{*} (r) ϕ_{m}^{*} (r^{'}) \frac{e^{2}}{| r - r^{'} |} ϕ_{n} (r^{'}) ϕ_{k} (r) d r d r^{'} .$

　　那么显而易见的是当 $l = m = n = k$ 时积分值最大。那么仅考虑此最大值，忽略其他情况。计其积分值为 $\frac{U}{2}$ 。那么：

\begin{matrix} (4) & \sum_{l, m, n, k, σ, σ^{'}} ⟨ l, m | V | k, n ⟩ c_{l, σ}^{†} c_{m, σ^{'}}^{†} c_{n, σ^{'}} c_{k, σ^{'}} = \frac{U}{2} \sum_{l, σ, σ^{'}} c_{l, σ}^{†} c_{l, σ^{'}}^{†} c_{l, σ^{'}} c_{l, σ^{'}} . \end{matrix}

展开自旋的求和可得：

\begin{matrix} (5) & \frac{U}{2} \sum_{l} (c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↑} c_{l, ↑} + c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↓} c_{l, ↑} + c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↑} c_{l, ↓} + c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↓} c_{l, ↓}) . \end{matrix}

由于电子是费米子，而第一项与第四项中都出现了两个湮灭算符，所以其都为 0，那么我们只需要考虑第二项和第三项，考虑反对易关系

{c_{i}^{†}, c_{j}} = δ_{i j}

，

{c_{i}, c_{j}} = 0

（以

\bar{σ}

表示与

σ

相反的自旋）:

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \sum_{l, σ, σ^{'}} c_{l, σ}^{†} c_{l, σ^{'}}^{†} c_{l, σ^{'}} c_{l, σ^{'}} & = \frac{U}{2} \sum_{l} (c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↓} c_{l, ↑} + c_{l, ↓}^{†} c_{l, ↑}^{†} c_{l, ↑} c_{l, ↓}) \\ = \frac{U}{2} \sum_{l, σ} c_{l, σ}^{†} c_{l, \bar{σ}}^{†} c_{l, \bar{σ}} c_{l, σ} \\ = \frac{U}{2} \sum_{l, σ} c_{l, σ}^{†} c_{l, σ} c_{l, \bar{σ}}^{†} c_{l, \bar{σ}} \\ = \frac{U}{2} \sum_{l, σ} {\hat{n}}_{l, σ} {\hat{n}}_{l, \bar{σ}} \\ = U \sum_{l} {\hat{n}}_{l, ↑} {\hat{n}}_{l, ↓} . \end{aligned} \end{matrix}

　　经过两次近似，得到 Hubbard 模型的哈密顿量为：

\begin{matrix} (7) & H = \sum_{i, σ} ε c_{i, σ}^{†} c_{i, σ} - \sum_{i, Δ, σ} t (c_{i + Δ, σ}^{†} c_{i, σ} + h . c .) + U \sum_{l} {\hat{n}}_{l, ↑} {\hat{n}}_{l, ↓} . \end{matrix}