贡献者： 叶月2_
旧称量子场论的工作是 “二次量子化”，但这种描述是不准确的。不仅仅是因为两套体系几乎是同时发展的，更是因为在概念上，量子场论仅仅是对经典场论中的场进行一次量子化，使得场不再是描述幅值随时空变换的函数，而是能描述粒子产生和湮灭的算符。为了算符化，我们需要利用量子力学中的产生和湮灭算符。这是量子场论中的基本概念，也是构筑多粒子体系不可或缺的砖瓦。
1. 定义
与谐振子问题一样，用 $ \left\lvert 0 \right\rangle $ 来定义能级最低，可视作没有粒子的真空态。用 $ a, a^\dagger$ 来湮灭和产生粒子，而不再是具有使谐振子能级爬升或者降低的意义。即
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert 0 \right\rangle &=0\\
a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert 0 \right\rangle &= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
也就是说，在场论里，增加或者湮灭粒子对应于谐振子里的能级爬升或者降低。粒子数增加或者减少对应能量量子数的增加或者减少。
在扩展理论的过程中，我们需要格外留心原本理论中不变量的适用条件。在量子力学里，为了符合物理现实和数学理论，可观测量，比如力学算符本征值或者传播振幅是不随 “参考系” 而改变的，这里的参考系是不同表象或者绘景。然而量子场论里往往需要研究的是洛伦兹不变量，原本的 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{q}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle $ 并不是洛伦兹不变量。
可以证明，洛伦兹不变测度 $\int\mathrm d^4 p=\int\frac{\mathrm d^3 p}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}$，因而 $2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\delta^3 ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$ 才是洛伦兹不变量。于是在场论里，不变"传播振幅"可修改为
\begin{equation}
\left\langle q \middle| p \right\rangle =(2 \pi)^3 2 E_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }\delta^3 ( \boldsymbol{\mathbf{q}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} )~,
\end{equation}
其中 $ \left\lvert p \right\rangle =\sqrt{2 E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rangle $。
2. 因果律与对易关系
在没有产生和湮灭算符之前，场方程的通解是函数的线性叠加。比如众所周知的 $K-G$ 方程，其齐次形式为
$$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0~,$$
该方程并不排斥负能解，所以我们可以把通解拆成两部分，
$$\phi(x)=\sum_pC(p)\mathrm e ^{\mathrm {i} px}+\sum_{-p}C(-p)\mathrm e ^{-\mathrm {i} px}~,$$
（注意，上式出现的矢量内积为四维形式。）
于是，在引入产生和湮灭算符后，我们可以把上式中的系数替换为算符，并把线性叠加修改为连续动量谱下的积分，积分测度需是洛伦兹不变。所以标量场量子化后为，
\begin{equation}
\phi (x)=\int\frac{\mathrm d^3 p}{(2\pi )^3}\frac {1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\mathrm e^{-\mathrm ipx}+a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^\dagger\mathrm e^{\mathrm ipx}~,
\end{equation}
作用在态矢上，第一项表示湮灭正能粒子，第二项表示产生负能粒子（即反粒子），常系数是归一化系数。对于复 $K-G$ 场，则为
\begin{equation}
\hat \phi (x)=\int\frac{\mathrm d^3 p}{(2\pi )^3}\frac {1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\mathrm e^{-\mathrm ipx}+b_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^\dagger\mathrm e^{\mathrm ipx}~,
\end{equation}
在量子化后，我们还可以得到这么一个东西：$[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}^\dagger(y)]$，虽然暂时还不能得到具体值，但在直觉上，它需要满足类空下对易子为 0——为了满足狭义相对论的因果律要求，类空下的算符必然是独立的，也就是说对类空的两个时间点进行测量，结果不受彼此影响，它们之间没有超光速的场传播。（虽然这个要求对场算符的限制不是很直观，但由于多粒子体系下的算符可以用场算符表示，我们可以证明，对于标量场，任意力学量算符类空下对易子为 0，等价于对场算符的对易子要求）
现在我们来推导该对易子：
\begin{equation}
\begin{aligned}
[\hat{\phi}(x),\hat{\phi}^\dagger(y)]&=\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi )^3}\frac {1}{\sqrt{2 E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}}\frac{\mathrm d^3p'}{(2\pi )^3}\frac {1}{\sqrt{2 E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}}}(\mathrm {e}^{\mathrm {i}py}\mathrm {e}^{-\mathrm {i}p'x}[a_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} },a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]+ \mathrm e^{-\mathrm i py}\mathrm e^{\mathrm i p'x}[b^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} },b_{{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}])\\
&=\int \frac {\mathrm d^3 p}{(2 \pi)^3}\frac {1}{2 E_p}(\mathrm e^{-\mathrm i p(x-y)}-\mathrm e^{\mathrm i p(x-y)})~,
\end{aligned}
\end{equation}
- 可以看到，该对易子确实是洛伦兹不变的。
- 当两个事件间隔是类空时，对易子为 0.我们可以取 $x_0=y_0=0$ 来保证类空。由于 $p$ 取所有值，所以第二项中指数的负号不影响积分结果。总积分结果为 0 且洛伦兹不变。
- 从计算过程中，我们可以发现，$[a_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} },a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]$=，$[b_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} },b^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]=(2\pi)^3\delta( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$ 保证了最后结果在类空间隔下为 $0$。量子力学中的全同性原理导出了玻色子的对易关系，本质上来源于因果律的要求。对于旋量场，我们则采取费米子对易关系进行量子化。
3. Fock 空间
在量子力学里，我们对单粒子希尔伯特空间已经相当熟悉了。现在需要扩展到多粒子体系，最好能描述数量未知的多粒子系统。
假设我们现在有 n 粒子的玻色子系统。如果是 2 粒子，我们可以用对称化后的二粒子基矢的线性组合~$( \left\lvert k_1,k_2 \right\rangle + \left\lvert k_2,k_1 \right\rangle )$ 来描述；三粒子亦然，任意 n 粒子态的基矢都是由 n 粒子希尔伯特空间的张量积构成。
\begin{align}
\left\lvert 0 \right\rangle \longrightarrow \mathcal{H}^{(0)} \\
\left\lvert k \right\rangle \longrightarrow \mathcal{H}^{(1)} \\
\left\lvert k_1,k_2 \right\rangle \longrightarrow \mathcal{H}^{(2)}\\
\mathcal{H}=\mathcal{H}^{(0)} \oplus \mathcal{H}^{(1)} \cdots \oplus \mathcal{H}^{(n)}~,
\end{align}
对于费米子体系，也是相应的构建思路，区别只是在对称化基矢上的搭建。
多粒子体系也有相应的完全性关系，
4. 多粒子体系的算符
我们以离散谱为例，连续化的结果通过把求和替换为积分获得。
设 $ F$ 为多粒子体系的总单体算符，对应的单粒子算符为 $f$，那么总的测量结果为单粒子测量结果之和。引入粒子数算符 $N(f_i)=a(f_i)^\dagger a(f_i)$，其中 ${f_i}$ 为单体算符的本征值谱，该粒子数算符统计处于该本征值的粒子数目。那么 $F=\sum ^i f_i a(f_i)^\dagger a(f_i) $。现在需要得到任意表象下的形式，利用真空态和完备性关系，我们可以得到产生和湮灭算符在不同表象下的关系
\begin{equation}
a^{\dagger}(f) \left\lvert 0 \right\rangle = \left\lvert f \right\rangle =\sum ^{h} \left\langle h \middle| f \right\rangle a^{\dagger}(f) \left\lvert 0 \right\rangle ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle 0 \right\rvert a(f)= \left\langle f \right\rvert =\sum^{h} \left\langle f \middle| h \right\rangle a(f) \left\langle 0 \right\rvert ~,
\end{equation}
因此，我们可以通过表象变换得到 $F$ 在任意表象下的最终形式
\begin{equation}
\begin{aligned}
F&=\sum^i f_i a^\dagger a(f_i)\\
&=\sum^{h,h'} \left\langle h \right\rvert F \left\lvert h' \right\rangle a^\dagger(h)a(h')~,
\end{aligned}
\end{equation}
类似的，我们可以得到总双体算符只任意表象下的表示。
总双体算符 $D$ 描述了两个量子态之间的相互作用势能。可以分成两部分，第一部分描述处于不同量子态的粒子相互作用，类似于坐标表象下静电势能，正比于对应态矢的粒子数量。第二部分描述相同态之间的相互作用，假设处于相同态的粒子数目为 $n$，那么从 $n$ 个粒子里选出两个粒子计算势能，一共有 $C_n^2$ 种选法，于是总的相互作用势能为
\begin{equation}
\begin{aligned}
D&=\sum^{i< j}d_{ij}N(d_i)N(d_j)+\sum^{i=j}\frac{1}{2}d_{ii}N(d_i)(N(d_i)-1)\\
&=\frac{1}{2}\sum^{i,j} d_{ij}(N(d_i)N(d_j)-N(d_i)\delta_{ij})~,
\end{aligned}
\end{equation}
假设该粒子体系都是玻色子或者费米子，那么离散情况下满足 $a(d_i)a^{\dagger}(d_j)-\varepsilon a^{\dagger}(d_j)a(d_i)=\delta_{ij}$。费米子下 $\mathrm{\varepsilon}=-1$。于是我们可以进一步化简上式，
\begin{equation}
\begin{aligned}
N(d_i)N(d_j)-N(d_i)\delta_{ij}&=a^\dagger a(d_i)a^\dagger a(d_j)-a^\dagger a(d_i)\delta_{ij}\\
&=a^\dagger (d_i)\left(\delta_{ij}+\varepsilon a^{\dagger}(d_j)a(d_i)\right)a(d_j)-a^\dagger a(d_i)\delta_{ij}\\
&=a^\dagger(d_j)a^\dagger(d_i)a(d_i)a(d_j)~,
\end{aligned}
\end{equation}
于是可以得到双体算符在该表象下的形式
\begin{equation}
D=\frac{1}{2}\sum ^{i,j}a^\dagger(d_j)a^\dagger(d_i) d_{ij}a(d_i)a(d_j)=~\frac{1}{2}\sum ^{i,j}a^\dagger(d_j)a^\dagger(d_i) \left\langle d_jd_i \right\rvert D \left\lvert d_id_j \right\rangle a(d_i)a(d_j)~,
\end{equation}
运用类似的计算方式，可以得到任意表象下的双体算符形式。也可以理解为，由于表象变换不改变测量值，所以直接将上式的本征态矢及算符换成其他表象下的形式即可。
习题 1
多粒子体系在坐标表象下的总哈密顿算符形式