贡献者： _Eden_; addis
为了研究复杂的三维晶格的性质，我们可以先从较为简单的结构入手，例如研究一维单原子链的情形，并且假定仅相邻原子之间存在相互作用。设一排 N 个相同的原子组成的简单晶体，原子质量为 $m$，相邻两个原子的相互作用能是它们之间距离的函数：$V(r)$。当晶体处于平衡位置时，相邻两原子间距离为 $a$，那么原子略微偏离平衡位置可以产生小振动，根据理论力学的相关知识，一维单原子链作为 $N$ 个自由度的力学体系，共有 $N$ 个独立简谐振动模式，对这些简谐振动模式的研究可以帮助我们认识一维晶格振动的情形。
为了衡量相邻原子间弹性恢复力的程度，我们把相互作用能 $V(r)$ 在 $a$ 附近进行傅里叶展开：
\begin{equation}
V(a+\delta)=V(a)+\frac{1}{2}\beta \delta^2+\text{高阶项}~,
\end{equation}
$\beta$ 被称为
力常数。让我们
暂时地忽略高阶项，那么相邻两原子间的作用力大小为
\begin{equation}
F=-\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\delta} }=-\beta\delta~.
\end{equation}
1. 格波解与色散关系
我们先忽略原子链的边界情况，即假设它是无限长的。设第 $n$ 个原子偏离平衡位置的位移为 $\mu_n$，我们可以根据牛顿运动定律列出方程
\begin{equation}
m \ddot \mu_n = \beta(\mu_{n+1}-\mu_n)-\beta(\mu_n - \mu_{n-1})~.
\end{equation}
为了找到相互独立且正交的简谐振动模式，我们假定方程具有 “格波” 形式的特殊解
\begin{equation}
\mu_{n}(q)=Ae^{i(\omega t-naq)}~,
\end{equation}
$q$ 为波数。代入
式 3 可以求得
\begin{equation}
\omega^2=\frac{4\beta}{m}\sin^2 \left(\frac{1}{2}aq \right) ~.
\end{equation}
这表明对于任意波数 $q$ 可以解出简振模的频率 $\omega$，而 $\omega$ 与 $q$ 的函数关系被称为
色散关系。
相邻两个原子间距离为 $a$，这表明 $q$ 和 $q+2\pi/a$ 对应同一种格波。为了方便起见，我们令 $-\pi/a< q<\pi/a$。这个取值范围是这个一维简单晶格的布里渊区。
前面我们讨论的是无穷长的晶格，现在让我们把目光转向 $N$ 个原子的情形。采用周期性边界条件（玻恩-卡曼条件），即设这个原子链首尾相连形成一个环，这时振动模式的色散关系应当与实际情形差不多。由于首尾相连，式 3 仍然成立，所以仍可以设格波解。所以 式 4 应满足周期性条件，$\mu_n(0)=\mu_n(N)$。因此 $q$ 的取值不再是连续的，而是离散的：
\begin{equation}
q=0,\pm \frac{2\pi}{Na},\pm 2\cdot \frac{2\pi}{Na},\cdots, (-\pi/a< q<=\pi/a)~.
\end{equation}
$q$ 一共有 $N$ 种取值，色散关系仍为
式 5 ，所以共有 $N$ 种简谐振动模式。当原子数量 $N$ 很大时，一维原子链近似于连续介质，$q$ 的取值就是准连续的。
2. 声子与元激发
根据量子力学基本原理，简正振动的能级并非连续的，而是量子化的。波数为 $q$ 频率为 $\omega$ 的振动模的能量本征值只能为
\begin{equation}
\epsilon_n= \left(n+\frac{1}{2} \right) \hbar\omega~.
\end{equation}
能量激发的单元是 $\hbar\omega$，因此能级 $\epsilon_n$ 可以看作是 $n$ 个频率为 $\omega$ 的带有能量 $\hbar\omega$ 的
声子。声子不是真实的粒子，而是多体系统集体运动的激发单元（称为 “元激发”），是 “准粒子”。用准粒子的概念可以更好地分析和理解晶体的各种物理性质。
在前面的推导种我们对势能展开时忽略了高阶项，同时忽略了晶格边界的效应，因此不同的简正模相互独立，不同声子互不干扰。然而如果考虑高阶项的影响，拉格朗日方程将多出 “非谐项”，这使得不同声子之间可以有相互作用，即 “碰撞”。声子的碰撞正是晶格的热传导的原因。此外晶格中如果掺杂了杂志，则可能会产生局域模或共振模，声子在传播过程中也可能与之 “碰撞”，因此杂质对热传导系数也有影响。
我们可以对 “声子气体” 作研究来探索晶格的热力学性质。由统计力学的玻色爱因斯坦分布可以知道声子的频率分布函数，进而求得晶格振动所导致的内能与热容。晶格热容的爱因斯坦理论 与 晶格热容的德拜理论 正是运用了这一思想。