无穷的概念

贡献者： addis; 钱昭霖

预备知识　映射

　　显然由于空集不含任何元素， $| \emptyset | = 0$ . 对两个集合求并集时，由于相同元素不重复计数，所以对于集合 $A$ 和 $B$ ，我们有不等式： $| A \cup B | ⩽ | A | + | B |$ 。

　　不同的集合有可能有一样多的元素，这个时候它们的基数相等。对于无穷集合，我们没法一个个数出集合中的元素，所以靠数元素数目是没法研究无穷集合的基数的。康托尔（Cantor）注意到，可以通过将两个集合的元素一一对应，从而比较集合的大小。能够建立双射的集合彼此大小一样，也就是说基数一样；对于集合 $A$ 和 $B$ ，如果 $A$ 到 $B$ 只能建立单射而无法建立满射，那么就认为 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数；反之，如果 $B$ 到 $A$ 可以建立满射但不能建立双射，那么就认为 $B$ 的基数严格大于 $A$ 的基数。由 Cantor-Bernstein 定理，这两个关于严格大于和小于的判断是等价的。

　　对于有限集合 $A$ ， $| A | = n$ ，这里 $n$ 是某个非负整数。显然，如果 $A$ 和 $B$ 都是有限集合，那么它们的基数之间的大小关系和对应的 $n$ 的大小关系是一致的。

　　无限集合分为可数集（countable set）和不可数集（uncountable set）。对于有限集合，如果 $A$ 是 $B$ 的真子集，那么 $| A | < | B |$ 严格成立；但是如果 $A$ 是 $B$ 的真子集且 $A$ 是无穷集合，那么我们最多只能认为 $| A | ⩽ | B |$ 。

　　可数集是指大小和整数集 $Z$ 相同的集合，也就是说，可以和全体整数进行一一对应。比如，全体偶数的集合 $2 Z$ 就是一个可数集，只需要令映射 $f \to Z = 2 Z$ 满足对于任何 $Z$ 中的元素 $n$ ， $f (n) = 2 n$ 就可以。由于全体整数的数量和全体非负整数的数量一样，可数集里的元素和非负整数也可以建立双射，这样我们就可以按照双射的连接 “挨个数出” 可数集里的元素，这就是可数集名称的来源。有理数集是可数的，但无理数集和实数集是不可数的。

　　可数集是最小的一类无穷集合，也就是说，任何无穷集合都可以满射到可数集上。

　　不可数集是指无法和可数集建立双射的无穷集合，它们都严格大于可数集。由 Cantor 定理可知，对于任何集合（不论有限无限） $A$ ， $| A | < | 2^{A} |$ ¹严格成立。我们把可数集的基数记为 $ℵ_{0}$ ；如果集合 $A$ 的基数为 $ℵ_{n}$ ，那么定义 $| 2^{A} | = ℵ_{n + 1}$ 。实数集的基数被定义为 $ℵ$ ，利用 Cantor-Bernstein 定理可以证明 $ℵ = ℵ_{1}$ .

　　集合论中的基本难题，连续统假设，猜测在 $ℵ_{0}$ 和 $ℵ$ 之间没有别的无穷基数，即不存在一个集合，严格大于整数集而又严格小于实数集。很不幸的是，连续统假设对于目前公认的集合论公理系统（ZFC 公理）是一个独立命题，即无法证明。

1. ^ $2^{A}$ 指 $A$ 的全体子集构成的集合，称作 $A$ 的幂集。至于为什么用这个表示方法，请参考。