贡献者： hfb25; int256
通常来说，我们都采取朴素集合论的观点，认为集合是一个最基本的数学概念，不需要严格的定义。但是，罗素悖论（antinomy of Russell）使得这一观念受到挑战。罗素悖论可以叙述为：已知对于任何一个集合1，都能判定自己是否属于这个集合。所以，我们可以将不属于自己的集合收集起来构成一个集合。因此就应该存在一个集合 $\mathcal{A}=\{A|A\notin A\}$，其中 $A$ 是一个集合。但是，如果认为 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$，那么根据定义，$\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$；反过来，如果认为 $\mathcal{A}\notin\mathcal{A}$，根据定义又有 $\mathcal{A}\in\mathcal{A}$。这就构成一个悖论。
罗素悖论有许多通俗版本：
罗素悖论的存在使人们认识到，朴素集合论并不像他们想象中的那么严谨。为了解决罗素悖论，人们利用公理对集合进行一系列限制，从而使得在新的公理系统中无法构造出罗素悖论中的集合。
ZF 公理系统中认为所有的元素都可以看作是集合。区分它们可以用一个简单的方法，看 “$\in$” “$\notin$” 符号，左边应看作元素，右边应看作集合。
在不同的书上 ZF 公理系统的这些公理可能有不同的顺序和表述，如果学校考试需要请以具体的教科书为准。
下面是 ZF 公理系统的全部公理2：
本体论承诺（存在公理） $\exists x: x=x.$ 这告诉我们，存在一个集合。
公理 0（空集存在公理） 表述为：$\exists A, \forall x: \neg ( x \in A).$ 即存在一个集合使得没有集合是它的元素。这是可以由分离公理模式证明的，故将其列为公理 0，而在实际的 ZF 公理系统中是没有这条公理的，这作为定理或真命题的形式存在。
公理 1（外延公理） 一个集合完全由其元素决定。如果两集合所有元素相等，则这两个集合相等。表述为：给定任意集合 $A$ 和集合 $B$，$A=B$ 当且仅当：给定任意集合中的元素 $x$，$x \in A$ 当且仅当 $x \in B$。这又被成为容积公理。
公理 2（无序对公理） 对于任意两个集合 $x,y$，存在一个集合 $A$，使得对于任意 $w\in A$，$w=x$ 或 $w=y$。这又被成为配对公理。
公理 3（并集公理）对于任意一个集合 $A$，存在一个集合 $B$ 使 $x\in B$ 当且仅当存在一个集合 $y\in A$ 使 $x\in y$。
公理 4（幂集公理） 对任意集合 $x$，存在集合 $y$，使得 $y$ 中有集合 $z$（表述为 $z \in y$）当且仅当对于 $z$ 的所有元素 $w$，$w\in x$。
公理 5（无穷公理） 存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素 $x$，$x^+ = x\cup \{x\}$ 也是其元素）也就是说，存在一集合 $x$，它有无穷多元素。
考虑皮亚诺公理，有时候也会把无穷公理表述为： 存在一个集合 $\mathbb{N}$，使得 $\varnothing\in\mathbb{N}$，且对任意 $x\in \mathbb{N}$，$x\cup\{x\}\in\mathbb{N}$。
把这个集合命名为 $\mathbb{N}$ 是因为根据皮亚诺公理，它就是自然数集合。
公理 6（正则公理）对于任意非空集合 $A$，存在一个 $x\in A$ 使 $x\cap A=\varnothing$。
这里空集的存在性由空集存在公理保证。
接下来的公理实际上是无数条公理的结合3，被称为公理模式：
公理 7（分离公理模式）对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的逻辑谓词 $P(z)$，存在集合 $B$，使 $z\in B$ 当且仅当 $z\in A$ 而且 $P(z)$ 为真。
也就是说，我们可以构造一个集合 $\{z\in A | P(z)\}$。这在一些书上被称为分离公理（模式），或是内涵公理，值得注意的是，这是一个公理模式，是可以由其他公理推导出的。但是这是必不可少的，因为在 “直觉主义” 的视角下，排中律（也就是：要么 $A$ 成立、要么非 $A$ 成立）并不成立。实际在证明过程中由于排中律而引起问题的地方在于需要证明：非空集合必有元素。
这定理的证明需要由空集存在公理保证。但如果将分离公理模式作为公理加入到公理化体系中，那么空集存在公理可以由分离公理模式证明得出，从而可以不需要空集存在公理。
公理 8（替换公理模式） 对任意集合 $A$ 和任意对 $A$ 的元素有定义的（逻辑）公式 $F(z)$，存在集合 $B$，使 $y\in B$ 当且仅当存在 $z\in A$ 而且 $F(z)=y$. 这又被称为置换公理模式。也就是说，由 $F(z)$ 定义的某函数的定义域在一集合 $A$ 中时，他的值域可以被限定在另一集合 $B$ 中。
本定理是正则公理的直接推论。
证明：假如这个集合存在，那么利用分离公理模式，我们可以构造所有非空集合的集合，设这个集合为 $A$，那么对任意 $x\in A$，由于存在集合 $y\in x$，故至少有 $y\in x\cap A$，也就是说 $x\cap A\neq\varnothing$。这与正则公理矛盾。证毕。
也可以用下面证明的引理：不存在以自身为元素的集合。于是所有的集合不能构成一个集合，否则其将以自己为元素，这样就解决了该命题。
证明：由于 $\varnothing$ 无元素，仅考虑非空集合。设存在一个非空集 $A$ 使得 $A \in A$，则由无序对公理可以得到存在集合 $\{A\}$，他仅有一个元素 $A$，由正则公理 $A\cap \{A\} = \varnothing = \varnothing$，而由 $A \in \{A\}, A \in A$ 得到 $A \in (A \cap \{A\})$，矛盾！
故不存在以自身为元素的集合。
证明：如不然，利用分离公理模式可以构造一个 引理 1 所述的集合。
选择公理（Axiom of Choice，又称 AC 公理）的出现源于罗素曾经提到过的以下问题：
现有无穷多个人，每个人都有无穷多只袜子，我们要从每个人手中各挑选出一只袜子，而这些袜子是没有差别的。
在没有选择公理之前，对于这些没有差别的袜子，我们无法保证有一种选法（虽然这是违反直觉的）。所以有了选择公理的出现：
对于任意一个集族 $\mathscr X$：
$$\forall \mathscr X \left[\varnothing \not \in \mathscr X \Rightarrow \exists f: \mathscr X \rightarrow \bigcup \mathscr X, \forall A \in \mathscr X: \left(f(A) \in A\right)\right] ~.$$
需要指出的是，空集是作为 $\mathscr X$ 的一个子集出现的，而不是元素。
AC 与上面所述的 ZF $1-8$ 一同构成了 ZFC 公理系统。
AC 与良序定理在 ZF 的前提下等价，二者选其中之一即可组成 ZFC 公理系统。
AC 还有等价的表述形式：
集合的基数可以理解为对集合内元素数量的一种衡量。对于一个集合 $\mathscr A$，用符号 $\left|\mathscr A\right|$ 表示。
具体的，对于有限集，其基数定义为这个集合内的元素的数量。
对于无限集而言，首先需要定义基数的比较方式：
对于两个集合 $\mathscr P$ 与 $\mathscr Q$：
特别的，对于任意基数 $\mathscr X$，总存在一个比它更大的基数 $\mathscr X^+$，因此也存在一个恰巧比它大的基数 $\mathscr X^+_0$，而这个基数 $\mathscr X^+_0$ 与原基数 $\mathscr X$ 间不存在其他基数。称这个基数为它的后继基数。
我们定义阿列夫-0（$\aleph_0$）为自然数集的基数。
之后的每个后继基数定义为：$\aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}$。
称 $\mathscr A$ 为可数集或可列集，当且仅当 $|\mathscr A| \le \aleph_0$。
连续统假设说的是，实数集与自然数集不等势，且实数集的基数为 $\aleph_1$。也就是可列集基数和实数基数之间没有别的基数。
1. ^ 这里把集合也看成元素。
2. ^ 由于 ZF 公理系统认定所有的元素都是集合，所以下面存在一些容易引起混淆的地方，比如集族也是集合。
3. ^ 一阶逻辑禁止量化谓词，所以只能算是无数条公理。