交错级数的收敛性判别

贡献者： DTSIo

预备知识　绝对收敛与条件收敛

　　在 “绝对收敛与条件收敛” 中已经解释过，条件收敛级数的收敛性完全是由相邻项的正负抵消导致的，而其各项绝对值组成的级数并不收敛。在这种情况下，仍然有两个判别法能够判断级数是否收敛。

定理 1　阿贝尔-迪利克雷判别法 (Abel-Dirichlet Test)

　　设 ${a_{n}}$ 是单调的实数序列， ${b_{n}}$ 是复数序列。

如果 ${a_{n}}$ 单调下降至零，而且存在常数 $M > 0$ 使得 $| \sum_{n = 1}^{N} b_{n} | \leq M .$ 对于任意 $N$ 都成立，那么级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。
如果 ${a_{n}}$ 是单调有界序列，而级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，那么级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。

　　 证明。 命部分和 $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} b_{n}$ , $B_{N} = \sum_{n = 1}^{N} b_{n}$ . 利用如下的分部求和公式： $S_{N} = a_{N} B_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1}) .$

如果 ${a_{n}}$ 单调下降至零，而且存在常数 $M > 0$ 使得 $| B_{N} | = | \sum_{n = 1}^{N} b_{n} | \leq M .$ 对于任意 $N$ 都成立，那么当 $N \to \infty$ 时 $a_{N} B_{N} \to 0$ , 而级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1})$ 是绝对收敛的，因为它的一般项绝对值组成的级数由望远镜级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} M | a_{k} - a_{k + 1} | = M \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} - a_{k + 1})$ 所控制（这里用到了序列 ${a_{n}}$ 是单调下降的）. 由此极限 $lim_{N \to \infty} S_{N}$ 存在，从而级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。
如果 ${a_{n}}$ 是单调有界序列（从而有极限，设为 $a$ ）, 而级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 的和为复数 $B$ , 那么根据与上一小节类似的理由，可得到级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1})$ 的绝对收敛性，而当 $N \to \infty$ 时 $a_{N} B_{N} \to a B$ . 由此极限 $lim_{N \to \infty} S_{N}$ 存在，从而级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。

　　这样，不论在哪种情形，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 都收敛。证毕。

例 1　某些三角级数的收敛性

　　这是一个令人惊讶的事实：如果 ${a_{n}}$ 是单调递减至零的正数序列，那么只要 $x \neq 2 k π$ , 级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{i n x}$ 就是收敛的，不论级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 本身收敛性如何。

　　实际上，利用等比级数求和法， $x \neq 2 k π$ 时，部分和序列 $| \sum_{n = 1}^{N} e^{i n x} | = | \frac{1 - e^{i (N + 1) x}}{1 - e^{i x}} | \leq \frac{2}{| \sin \frac{x}{2} |} .$ 这样，应用阿贝尔-迪利克雷判别法的第一条，就知道级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{i n x} .$ 在 $x \neq 2 k π$ 时收敛，还可以估计出收敛速度：级数的第 $N$ 个部分和同实际的和之间的差值由 $\frac{2 a_{N}}{| \sin \frac{x}{2} |}$ 所控制。当然，由此得到的收敛速度估计在 $x$ 非常接近 $2 k π$ 时会非常粗糙。

交错级数的收敛性判别

定理 1 阿贝尔-迪利克雷判别法 (Abel-Dirichlet Test)

例 1 某些三角级数的收敛性

定理 1　阿贝尔-迪利克雷判别法 (Abel-Dirichlet Test)

例 1　某些三角级数的收敛性