交错级数的收敛性判别
贡献者： DTSIo
在 “绝对收敛与条件收敛” 中已经解释过，条件收敛级数的收敛性完全是由相邻项的正负抵消导致的，而其各项绝对值组成的级数并不收敛。在这种情况下，仍然有两个判别法能够判断级数是否收敛。
定理 1 阿贝尔-迪利克雷判别法 (Abel-Dirichlet Test)
设 $\{a_n\}$ 是单调的实数序列，$\{b_n\}$ 是复数序列。
- 如果 $\{a_n\}$ 单调下降至零，而且存在常数 $M>0$ 使得
$$
\left|\sum_{n=1}^N b_n\right|\leq M~.
$$
对于任意 $N$ 都成立，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛。
- 如果 $\{a_n\}$ 是单调有界序列，而级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛。
证明。 命部分和 $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n$, $B_N=\sum_{n=1}^N b_n$. 利用如下的分部求和公式：
$$
S_N=a_NB_N+\sum_{k=1}^{N-1}B_k(a_{k}-a_{k+1})~.
$$
- 如果 $\{a_n\}$ 单调下降至零，而且存在常数 $M>0$ 使得
$$
|B_N|=\left|\sum_{n=1}^N b_n\right|\leq M~.
$$
对于任意 $N$ 都成立，那么当 $N\to\infty$ 时 $a_NB_N\to0$, 而级数
$$
\sum_{k=1}^{\infty}B_k(a_{k}-a_{k+1})~
$$
是绝对收敛的，因为它的一般项绝对值组成的级数由望远镜级数
$$
\sum_{k=1}^{\infty}M|a_{k}-a_{k+1}|
=M\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}-a_{k+1})~
$$
所控制（这里用到了序列 $\{a_n\}$ 是单调下降的）. 由此极限 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在，从而级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛。
- 如果 $\{a_n\}$ 是单调有界序列（从而有极限，设为 $a$）, 而级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 的和为复数 $B$, 那么根据与上一小节类似的理由，可得到级数
$$
\sum_{k=1}^{\infty}B_k(a_{k}-a_{k+1})~
$$
的绝对收敛性，而当 $N\to\infty$ 时 $a_NB_N\to aB$. 由此极限 $\lim_{N\to\infty}S_N$ 存在，从而级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛。
这样，不论在哪种情形，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 都收敛。证毕。
例 1 某些三角级数的收敛性
这是一个令人惊讶的事实：如果 $\{a_n\}$ 是单调递减至零的正数序列，那么只要 $x\neq 2k\pi$, 级数
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \mathrm{e} ^{inx}~
$$
就是收敛的，不论级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 本身收敛性如何。
实际上，利用等比级数求和法，$x\neq 2k\pi$ 时，部分和序列
$$
\left|\sum_{n=1}^N \mathrm{e} ^{inx}\right|
=\left|\frac{1- \mathrm{e} ^{i(N+1)x}}{1- \mathrm{e} ^{ix}}\right|
\leq\frac{2}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|}~.
$$
这样，应用阿贝尔-迪利克雷判别法的第一条，就知道级数
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n \mathrm{e} ^{inx}~.
$$
在 $x\neq 2k\pi$ 时收敛，还可以估计出收敛速度：级数的第 $N$ 个部分和同实际的和之间的差值由
$$
\frac{2a_N}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|}~
$$
所控制。当然，由此得到的收敛速度估计在 $x$ 非常接近 $2k\pi$ 时会非常粗糙。