摆线

贡献者：零穹; addis

本文处于草稿阶段。

　　其中 $a$ 是大于零的参数。令方括号部分为 $θ$ ，该方程能写成 $θ$ 的参数方程，该曲线被称为摆线（cycloid）或滚轮线。

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x & = a (θ - \sin θ) \\ y & = a (1 - \cos θ) \end{aligned} . \end{matrix}

公式推导

图 1：摆线

　　如图 1 ，直角坐标系 $x O y$ 中，半径为 $a$ 的圆 $B$ 沿 $x$ 轴做无滑滚动，该圆与 $x$ 轴相切与 $A$ 点，圆上一动点 $M$ 在 $x$ 轴上投影为点 $D$ , 点 $C$ 为 $M$ 在线 $A B$ 上的垂点，动点 $M$ 初始位置在坐标原点 $O$ , 其运动轨迹便是摆线， $∠ A B M = θ$ ，设动点 $M$ 坐标为 $(x, y)$ ，则

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} O A = a θ, \\ A D = a \sin θ, \\ B C = a \cos (π - θ) = - a \cos θ . \end{aligned} \end{matrix}

由几何关系可知

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} x = O A - A D = a θ - a \sin θ = a (θ - \sin θ), \\ y = a + B C = a - a \cos θ = a (1 - \cos θ) . \end{aligned} \end{matrix}

这便是摆线的参数方程。

未完成：推导公式

　　从 $θ = 0$ 开始的任意一段摆线都是连接这两点的最速降线。