伪标量
贡献者： 叶月2_
注：本文参考 Jie Peter《代数学基础》
几何代数 $\mathcal G(V,q)$ 有一个非常特殊的元素，通常称之为定向的体积元
（oriented volume element）或者体积形式（volume form），即某个标准正交基 $\{e_i\}$ 中的元素构成的积：
$$\mathrm {vol:=e_1e_2e_3...e_n}~,$$
该体积形式又可被叫作伪标量单位，称其平方的结果为伪标量。
设 $\{e_i\}$ 和 $\{\theta_i\}$ 为线性空间 $V$ 中的两组标准正交基，且 $\theta_j=A^i_j e_i$，$A^i_j$ 是过渡矩阵的元素。那么由 Clifford 积的分配律，我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta_1\theta_2...\theta_n&=(A^{j_1}_1 e_{j_1})(A^{j_2}_2 e_{j_2})(A^{j_n}_n e_{j_n})\\
&=\sum_{\sigma\in S_n} sgn\sigma(A^{\sigma (1)}_1)e_1e_2...e_n\\
&=det A^i_je_1e_2...e_n~,
\end{aligned}
\end{equation}
该过渡矩阵是正交矩阵，因而体积元只相差正负号，可以表明在新的标准基下，体积的 “定向性” 是否发生改变。
伪标量可能为正负 1,或 1，取决于该空间的二次型。如果二次型是退化的，那么 $I^2=0$。如果不是退化的，比如 $R^{s,t}$，我们有
\begin{equation}
I^2=(-1)^{\frac{n(n-1}{2})+t}~,
\end{equation}
其中，n 为该空间维度。$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 表示将 $I^2$ 重排的逆序数。比如从 $e_1e_2e_3e_1e_2e_3$ 到 $e_1e_1e_2e_2e_3e_3$。
$I$ 可以用来构造新的代数，伪标量可以用来判断简单的代数同构。
例 1
$\mathcal G(\mathbb R^3)$ 的伪标量单位 $I=e_1e_2e_3,I^2=-1$。因而{1，I}可以张成子代数 $\mathbb C$。同理，$\mathcal G(\mathbb R^2)$ 的伪标量单位和 1 也能张成复数代数
例 2
给定几何代数 $\mathcal G(\mathbb R^{0,1})$，由于 $e_1^2=-1$。因而该代数就是复数代数。
例 3
可以建立从 $\mathcal G(\mathbb R^{0,2})$ 到四元数的同构。同构需要从单位元映射到单位元。此外，基之间的映射可以为：$e_1\mapsto i,e_2\mapsto j,e_1e_2\mapsto k$。或者是 $e_1\mapsto i,e_2 e_1\mapsto j,e_2\mapsto k$。可以验证该映射保代数同态。