贡献者: JierPeter; addis
唯一析因环,顾名思义,就是每个元素都有唯一的不可约因式分解。这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便。
唯一析因环的好处显而易见,每个元素都可以唯一对应一种素元素分解,比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积,且这种乘积是唯一的。
唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误。柯西等人曾以为自己证明了费马大定理,而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设,用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”。然而很可惜,存在不唯一析因的环,这也成了此类证明中的命门。
是否所有形如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$($n$ 为正整数)的环都不是唯一析因环呢?答案是否定的,比如 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 等就是唯一析因环。不过对于这两个环,证明它们是欧几里得环更加方便,由此可知它们是唯一析因环,详情请参见例 4 。
给定一个整环,如何判断它是否是唯一析因环呢?有限析因性通常是容易判断的,如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中,任意元素 $a+b\sqrt{-2}$ 的真因子之模长一定小于 $ \left\lvert a+b\sqrt{-2} \right\rvert $,这就足以判断有限析因性3——但唯一析因性通常并不容易,因此需要介绍判定唯一析因环的条件。
如果一个整环 $R$ 满足有限析因性,但不满足唯一析因性,会发生什么情况?以 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 为例,$6=2\times 3=(2+\sqrt{-2})\times(2-\sqrt{-2})$,但是 $2\nmid(2\pm\sqrt{-2})$,故不可约元素 $2$ 不是素元素4。
但是,如果不可约元素一定是素元素呢?应用有限析因时素元素的等价定义(定理 1 )和不可约元素的定义(真因子树的末端),容易证明此时 $R$ 中任意给定元素的所有真因子树都具有相同的末端,即唯一析因性。事实上,这就是判定唯一析因环的一种条件:
证明:
必要性:
已知 $R$ 有限析因了,只需要证明此时 $R$ 有唯一析因性。
由素性条件的定义 2 和此时素元素的等价定义(定理 1 ),可知如果 $t\in R$ 在 $r\in R$ 的某棵真因子树的末端,则它必在 $r$ 的每一棵真因子树的末端,因此 $r$ 的所有真因子树的末端元素都相同,从而得证唯一析因性。
充分性:
由于 $R$ 是唯一析因环,故已知 $R$ 有限析因。任取不可约元素 $x\in R$,如果 $x\mid r$,则 $x$ 在 $r$ 的每一棵真因子树上。由定理 1 得证 $x$ 是素元素。
证毕。
满足有限析因性的环 $R$ 中,如果没有唯一析因性,还有另外一个疑难:难以判断最大公因子。
在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 上考虑 $a=4+2\sqrt{-2}$ 和 $b=6$,则它们的公因子集合为 $\{2, 2+\sqrt{-2}\}$,但这两个公因子都不是彼此的因子,从而 $a, b$ 没有最大公因子。
观察 $a, b$ 的构造可以发现,我们是取 $6$ 的两个不同的不可约分解,然后在两个分解中各取一个对方没有的元素相乘得到 $a$,也就是说这种反例的构造依赖于没有唯一析因性。
事实上,这是另一种判定唯一析因环的条件:
证明:
必要性:
反设 $R$ 不是唯一析因环,则存在 $r\in R$,它有两棵末端不相同的真因子树。分别取这两棵树独有的末端(即对方没有的)$x$ 和 $y$,则 $r$ 和 $xy$ 之间没有最大公因子5。
充分性:
由于 $R$ 是唯一析因环,故任意元素的不可约分解(真因子树的末端)是确定的,不随分解方式变化而变化。对于 $a, b\in R$,各自取它们的唯一不可约分解,给 $a$ 的分解结果编号,按顺序,先取第一个不可约因子,看它是否等于 $b$ 的某个不可约因子。如果没有,则看 $a$ 的下一个不可约因子;如果有,则把这两个相同的因子都取出备用,然后看 $a$ 的下一个不可约因子是否等于 $b$ 的某个剩下的不可约因子。以此类推,直到按顺序遍历 $a$ 的全体有限个不可约因子。
遍历后,把过程中取出的 $a$ 的不可约因子乘起来,结果即为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。
证毕。
1. ^ 见真因子树文章的定义 5 。
2. ^ 本例取自维基百科相关页面。
3. ^ 当然,我们已经知道 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 不是唯一析因环。
4. ^ 注意由定理 2 ,素元素必是不可约元素,而这个反例说明不可约元素不一定是素元素。
5. ^ $x, y$ 不可约,故 $r$ 和 $xy$ 的公因子集合就是 $\{x, y\}$;又因为 $x, y$ 分别是两棵树独有的元素,故二者不相伴。