唯一析因环

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 真因子树

   唯一析因环,顾名思义,就是每个元素都有唯一的不可约因式分解。这个定义用真因子树的语言来描述颇为方便。

定义 1 唯一析因环

   对于整环 $R$,如果它具有有限析因性唯一析因性1,那么称其为一个唯一析因环(unique factorization domain),或译作唯一分解整环,常简称 UFD。

   唯一析因环的好处显而易见,每个元素都可以唯一对应一种素元素分解,比如每个非平凡整数都可以表示为素数的乘积,且这种乘积是唯一的。

例 1 正面例子

  • 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一析因环。
  • 域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 是唯一析因环。

   唯一析因环的概念脱胎于一个经典的错误。柯西等人曾以为自己证明了费马大定理,而事实上他们的证明依赖了一个直觉上成立的假设,用现代语言来说就是 “所有的环都是唯一析因环”。然而很可惜,存在不唯一析因的环,这也成了此类证明中的命门。

例 2 反面例子

   我们给出一些不是唯一析因环的例子。

  • 环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-5}|a, b\in\mathbb{Z}\}$ 存在有多种因式分解方式的元素。比如说,$6$ 可以分解为 $ \left(1+\sqrt{-5} \right) \times \left(1-\sqrt{-5} \right) $,也可以分解为 $2\times 3$,这两种分解都已不可再分。
  • 复数域上的全体整函数构成的环不是 UFD,因为存在可以无限析因的元素2:$\sin{\pi z=\pi z\prod\limits_{i=1}^\infty(1-\frac{z^2}{i^2})}$。

  

未完成:关于整函数的概念,缺少 “全纯函数” 文章作为预备知识。

   是否所有形如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$($n$ 为正整数)的环都不是唯一析因环呢?答案是否定的,比如 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 等就是唯一析因环。不过对于这两个环,证明它们是欧几里得环更加方便,由此可知它们是唯一析因环,详情请参见例 4

   给定一个整环,如何判断它是否是唯一析因环呢?有限析因性通常是容易判断的,如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中,任意元素 $a+b\sqrt{-2}$ 的真因子之模长一定小于 $ \left\lvert a+b\sqrt{-2} \right\rvert $,这就足以判断有限析因性3——但唯一析因性通常并不容易,因此需要介绍判定唯一析因环的条件。

1. 判定唯一析因环:素元素

   如果一个整环 $R$ 满足有限析因性,但不满足唯一析因性,会发生什么情况?以 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 为例,$6=2\times 3=(2+\sqrt{-2})\times(2-\sqrt{-2})$,但是 $2\nmid(2\pm\sqrt{-2})$,故不可约元素 $2$ 不是素元素4

   但是,如果不可约元素一定是素元素呢?应用有限析因时素元素的等价定义(定理 1 )和不可约元素的定义(真因子树的末端),容易证明此时 $R$ 中任意给定元素的所有真因子树都具有相同的末端,即唯一析因性。事实上,这就是判定唯一析因环的一种条件:

定义 2 

   给定整环 $R$,如果 $R$ 中所有不可约元素都是素元素,则称 $R$ 满足素性条件

定理 1 

   给定整环 $R$,则 “$R$ 满足有限析因性素性条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

   证明

   必要性

   已知 $R$ 有限析因了,只需要证明此时 $R$ 有唯一析因性。

   由素性条件的定义 2 和此时素元素的等价定义(定理 1 ),可知如果 $t\in R$ 在 $r\in R$ 的某棵真因子树的末端,则它必在 $r$ 的每一棵真因子树的末端,因此 $r$ 的所有真因子树的末端元素都相同,从而得证唯一析因性。

   充分性

   由于 $R$ 是唯一析因环,故已知 $R$ 有限析因。任取不可约元素 $x\in R$,如果 $x\mid r$,则 $x$ 在 $r$ 的每一棵真因子树上。由定理 1 得证 $x$ 是素元素。

   证毕

2. 判定唯一析因环:最大公因子

   满足有限析因性的环 $R$ 中,如果没有唯一析因性,还有另外一个疑难:难以判断最大公因子。

定义 3 最大公因子

   给定整环 $R$。对于 $a, b\in R$,如果 $x\in R$ 是 $a$ 和 $b$ 的公因子,且 $a$ 和 $b$ 的任意公因子都是 $x$ 的因子,那么称 $x$ 是 $a, b$ 的最大公因子(greatest common divisor),记为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

   对于任意多的元素,也可以定义它们的最大公因子为,使得所有公因子都是其因子的公因子,同样用符号 $ \operatorname {gcd}$ 表示,如 $ \operatorname {gcd}(a_1, a_2, a_3, \cdots)$。

   在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 上考虑 $a=4+2\sqrt{-2}$ 和 $b=6$,则它们的公因子集合为 $\{2, 2+\sqrt{-2}\}$,但这两个公因子都不是彼此的因子,从而 $a, b$ 没有最大公因子。

   观察 $a, b$ 的构造可以发现,我们是取 $6$ 的两个不同的不可约分解,然后在两个分解中各取一个对方没有的元素相乘得到 $a$,也就是说这种反例的构造依赖于没有唯一析因性。

   事实上,这是另一种判定唯一析因环的条件:

定义 4 

   如果整环 $R$ 的任意两个元素之间都有最大公因子,则称 $R$ 满足最大公因子条件

定理 2 

   给定整环 $R$。则 “$R$ 满足有限析因性最大公因子条件” 当且仅当 “$R$ 是唯一析因环”。

   证明

   必要性

   反设 $R$ 不是唯一析因环,则存在 $r\in R$,它有两棵末端不相同的真因子树。分别取这两棵树独有的末端(即对方没有的)$x$ 和 $y$,则 $r$ 和 $xy$ 之间没有最大公因子5

   充分性

   由于 $R$ 是唯一析因环,故任意元素的不可约分解(真因子树的末端)是确定的,不随分解方式变化而变化。对于 $a, b\in R$,各自取它们的唯一不可约分解,给 $a$ 的分解结果编号,按顺序,先取第一个不可约因子,看它是否等于 $b$ 的某个不可约因子。如果没有,则看 $a$ 的下一个不可约因子;如果有,则把这两个相同的因子都取出备用,然后看 $a$ 的下一个不可约因子是否等于 $b$ 的某个剩下的不可约因子。以此类推,直到按顺序遍历 $a$ 的全体有限个不可约因子。

   遍历后,把过程中取出的 $a$ 的不可约因子乘起来,结果即为 $ \operatorname {gcd}(a, b)$。

   证毕


1. ^真因子树文章的定义 5
2. ^ 本例取自维基百科相关页面
3. ^ 当然,我们已经知道 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 不是唯一析因环。
4. ^ 注意由定理 2 ,素元素必是不可约元素,而这个反例说明不可约元素不一定是素元素。
5. ^ $x, y$ 不可约,故 $r$ 和 $xy$ 的公因子集合就是 $\{x, y\}$;又因为 $x, y$ 分别是两棵树独有的元素,故二者不相伴。

                     

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