主理想整环
贡献者： 叶月2_; JierPeter
在寻找唯一析因环的例子时，一个非常容易识别的类别就是本节介绍的的主理想整环。
可以证明，任意多个理想的交集依然是理想，因而可以用该方法来构造环上的理想。对于环 $R$ 的非空子集$S$，用 $< S>$ 表示环上所有包含该集合的理想之交，称为由 $S$生成的理想。易证<$S$>是包含该集合的最小理想。
例 1
设 $R$ 为幺环，则有
\begin{equation}
\langle S\rangle=\left\{\sum_{i=1}^n x_i a_iy_i \mid n \in \mathbb{N}, x_i,y_i \in R, a_i \in S, i=1,2, \cdots, n\right\}~.
\end{equation}
定义 1 主理想
单个元素生成的理想，称为一个主理想（principal ideal），并称该元素为主理想上的一个生成元。
对于整环 $R$，任取 $a\in R$，可证 $\langle a \rangle=\{ra|r\in R\}$。
定义 2 主理想环
对于环$R$，如果它的理想全都是主理想，那么称它为一个主理想环（principal ideal ring），常简称 PIR。
对于整环$R$，如果它是 PIR，那么称它为一个主理想整环（principal ideal domain），常简称 PID。