相似变换和相似矩阵

                     

贡献者： 叶月2_; addis

　　 注：本篇使用爱因斯坦求和约定。

　　 矩阵是线性映射在特定基下的表示，每一列表示基向量被映射后的结果。即 $f({\mathbf{e}}_i)=a_i^j{\mathbf{e}}_j$，对任意向量作用输出一个向量，是一个 $(1,1)$ 型张量：

或者写成矩阵形式，令 $b^i$ 表示基向量组为 $\{{\mathbf{e}}_i\}$ 下的任意向量 $\mathbf{x}$： 最后一项为确定一组基后矩阵作用在向量下的简化表达，$a_i^j$ 表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 项。

　　 因此我们可以改变空间的基向量组，从而得到线性映射的不同表示。比如令 $\{{\mathbf{e}}_i\},\{{\mathit{\theta }}_i\}$ 为同一线性空间下的两组基，$A=(a_j^i),B=(b_j^i)$ 分别为同一线性映射在不同基下的表示。这两组基通过矩阵 $Q$ 联系在一起：

那么我们可以找到两个矩阵的关系： 即：$QB=AQ$。

　　 式 3 实际上是：

相似关系是同阶矩阵群的等价关系(等价关系用 $\sim$ 表示)，即满足

1. 反身性 $A\sim A$
2. 对称性 若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
3. 传递性 若 $A\sim B,B\sim C$，则 $A\sim C$

　　 相似变换还具有如下性质（假设 $A\sim B$）：

1. $\mathrm{R}(A)=\mathrm{R}(B)$；
2. $A$ 与 $B$ 的行列式相同：$|A|=|B|$；
3. $A$ 与 $B$ 的迹相同：$\mathrm{Tr}A=\mathrm{Tr}B$；
4. 若 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆，且 $A^{-1}\sim B^{-1}$；
5. $kA\sim kB,A^m\sim B^m$，其中 $k$ 为任意常数，$m\in {\mathbb{Z}}^{+}$；
6. 若 $f(x)$ 是任意多项式，则 $f(A)\sim f(B)$。

　　 以上六点性质在线性映射的角度上看都是很好理解的，只要抓住相似矩阵是同一线性映射在不同基下的表示这一意义即可。在矩阵角度上也非常好证，比如第五点的 $A^m\sim B^m$：

　　 在量子力学中，相似变换也无处不在，我们一般称之为表象变换。由于量子力学中的矩阵定义在复数域上，且基向量组都满足正交归一关系，因此相似变换是保距变换（正交变换），且过渡矩阵 $Q$ 是酉矩阵，满足：$Q^{†}=Q^{-1}$¹。

　　 由于相似变换改变了空间的基，因此向量的坐标表示也发生了变化。设相似变换前后的基向量组分别为 $\{{\mathbf{e}}_i\}$ 与 $\{{\mathit{\theta }}_i\}$，且对于任意向量有：

设过渡矩阵为 $Q$，即 ${\mathit{\theta }}_i=Q_i^j{\mathbf{e}}_j$，代入上式得： 即 ${\mathbf{x}}^{\prime }=Q^{-1}\mathbf{x}$。由这个关系，我们可以进一步证明一个几何结论：相似变换不改变矩阵的本征值和本征向量。

1. 对角化

　　 若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵，我们把这个过程称为对角化，并称 $A$可对角化。从定理 3 可知，$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。结合定理 1 “不同本征值的本征向量线性无关” 和推论 1 “不同本征值的本征向量组线性无关” 可知，如果 $A$ 满足以下两种情况，则 $A$ 可对角化。

　　 可以证明，实对称矩阵一定可以对角化。²

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1. ^ 由复数域上的保距关系：${\mathbf{x}}^{†}{Q}^{†}Q\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{†}\mathbf{x}$ 得。
2. ^ 参见合同变换一节。