贡献者： 叶月2_; addis
- 本文处于草稿阶段。
欠缺线性映射的矩阵表示 eq。
注：本篇使用爱因斯坦求和约定。
矩阵是线性映射在特定基下的表示，每一列表示基向量被映射后的结果。即 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=a^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$，对任意向量作用输出一个向量，是一个 $(1,1)$ 型张量：
\begin{equation}
f(b^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=b^ia^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j~.
\end{equation}
或者写成矩阵形式，令 $b^i$ 表示基向量组为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 下的任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $：
\begin{equation}
A \boldsymbol{\mathbf{x}} = a^j_i b^i~.
\end{equation}
最后一项为确定一组基后矩阵作用在向量下的简化表达，$a^j_i$ 表示矩阵 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 项。
因此我们可以改变空间的基向量组，从而得到线性映射的不同表示。比如令 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$ 为同一线性空间下的两组基，$A=(a^i_j),B=(b^i_j)$ 分别为同一线性映射在不同基下的表示。这两组基通过矩阵 $Q$ 联系在一起：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=q^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j~,
\end{equation}
那么我们可以找到两个矩阵的关系：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f( \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i)&=b^j_i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _j\\
&=b^j_i q^k_j \boldsymbol{\mathbf{e}} _k\\
&=f( a^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=a^j_iq^k_j \boldsymbol{\mathbf{e}} _k
\end{aligned}~.
\end{equation}
即：$QB=AQ$。
定义 1 相似变换
设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 阶可逆方阵 $Q$，使得
\begin{equation}
Q^{-1}AQ=B~,
\end{equation}
则称 $A$
相似于 $B$，该运算称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $Q$ 称为过渡矩阵。
式 3 实际上是：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mathbf{e}} _1& \boldsymbol{\mathbf{e}} _2& \boldsymbol{\mathbf{e}} _3&... & \boldsymbol{\mathbf{e}} _n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q^1_1& q^1_2 &q^1_3 & ...&q^1_n\\
q^2_1& q^2_2 &q^2_3 & ...&q^2_n \\
...& ... & ...&...&... \\
q^n_1& q^n_2 &q^n_3 & ...&q^n_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _1& \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _2& \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _3&... & \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _n\end{pmatrix}~.
\end{equation}
相似关系是同阶矩阵群的等价关系(等价关系用 $\sim $ 表示)，即满足
- 反身性 $A\sim A$
- 对称性 若 $A\sim B$，则 $B\sim A$
- 传递性 若 $A\sim B\,,B\sim C$，则 $A\sim C$
习题 1
证明：假定 $G$ 为可逆矩阵乘法群 $GL(n,\mathbb R)$，设任意 $B,C\in G, Ad_B(C)=BCB^{-1}$，证明 $Ad_B$ 是 $G$ 的自同构映射。
相似变换还具有如下性质（假设 $A\sim B$）：
- $ \operatorname {R}(A)= \operatorname {R}(B)$；
- $A$ 与 $B$ 的行列式相同：$|A|=|B|$；
- $A$ 与 $B$ 的迹相同：$ \operatorname {Tr}A= \operatorname {Tr}B$；
- 若 $A$ 可逆，则 $B$ 也可逆，且 $A^{-1}\sim B^{-1}$；
- $kA\sim kB\,,A^m\sim B^m$，其中 $k$ 为任意常数，$m\in \mathbb Z^{+}$；
- 若 $f(x)$ 是任意多项式，则 $f(A)\sim f(B)$。
以上六点性质在线性映射的角度上看都是很好理解的，只要抓住相似矩阵是同一线性映射在不同基下的表示这一意义即可。在矩阵角度上也非常好证，比如第五点的 $A^m\sim B^m$：
\begin{equation}
B^m=(Q^{-1}AQ)^m=Q^{-1}AQQ^{-1}AQ...Q^{-1}AQ=Q^{-1}A^mQ~.
\end{equation}
在量子力学中，相似变换也无处不在，我们一般称之为表象变换。由于量子力学中的矩阵定义在复数域上，且基向量组都满足正交归一关系，因此相似变换是保距变换（正交变换），且过渡矩阵 $Q$ 是酉矩阵，满足：$Q^{\dagger}=Q^{-1}$1。
由于相似变换改变了空间的基，因此向量的坐标表示也发生了变化。设相似变换前后的基向量组分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 与 $\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$，且对于任意向量有：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{x}} =x^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i=x'^i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i~.
\end{equation}
设过渡矩阵为 $Q$，即 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=Q^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j$，代入上式得：
\begin{equation}
x'^i \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i=x'^iQ^j_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _j=x^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i~.
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '=Q^{-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} $。由这个关系，我们可以进一步证明一个几何结论：
相似变换不改变矩阵的本征值和本征向量。
1. 对角化
若相似变换可以使矩阵变为对角矩阵，我们把这个过程称为对角化，并称 $A$可对角化。从定理 3 可知，$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的本征向量。结合定理 1 “不同本征值的本征向量线性无关” 和推论 1 “不同本征值的本征向量组线性无关” 可知，如果 $A$ 满足以下两种情况，则 $A$ 可对角化。
推论 1
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的本征值，则 $A$ 一定可以对角化。
推论 2
$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 有 $n$ 个本征值（包括重根），且每个本征值的几何重数等于代数重数。
可以证明，实对称矩阵一定可以对角化。2
1. ^ 由复数域上的保距关系：$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\dagger}Q^{\dagger}Q \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\dagger} \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 得。
2. ^ 参见合同变换一节。