日晷的计算

                     

贡献者： addis

1. 水平日晷

　　 常见的水平日晷如图 1 和图 2 所示。把图片打印后，把直角三角形的底边垂直固定在半圆的 12 点方向，然后把半圆水平放于地面，12 点方向指向正北（地轴北）即可。此时三角形的斜边，也就是日晷的指针与地轴平行。太阳绕日晷指针以每小时 15°（一天 360°）的角速度匀速转动。

　　 该类型日晷的一个画图网页见这里。

　　 日晷圆盘上的刻度与所在纬度有关，若将其放在北极或南极，那么直角三角形的斜边就变为一个和地面垂直的线段，且表盘上的刻度是均匀的。相反，若把这种日晷放在赤道上，那么三角形的斜边将会与 12 点的刻度共线，此时这种日晷将失效。

　　 刻度的具体计算并不复杂，公式为

其中 $\beta$ 是表盘上某个刻度到 12 点刻度的夹角；$\theta$ 是太阳关于地轴（指针）旋转的角度——每小时增加 15 度，正午为 0 度；$\alpha$ 是当地纬度。可以验证在北极点处即 $\alpha = \pi/2$ 时 $\beta = \theta$。

　　 证明：令式 6 中 $\theta_2 = \pi/2$，$\theta_1 = \theta$ 即可。表盘的中心就是三棱锥顶点。

　　 我们给出水平日晷的 Matlab 画图代码，结果类似图 2 。

alpha = pi/6; % 纬度
th = linspace(-pi/2, pi/2, 13);
beta = atan(sin(alpha).*tan(th));
th0 = linspace(-pi/2, pi/2, 1000);
figure; plot(cos(th0),sin(th0), 'k'); hold on;
for i = 1:13
    plot([0,cos(beta(i))], [0,sin(beta(i))], 'k');
end
axis equal; view(-90, 90);
axis([-0.1, 1.1, -1.1, 1.1]);

2. 赤道平面日晷

　　 另一种在任何纬度都适用的方案是让刻度盘始终与指针保持垂直，而指针始终平行于地轴。这种日晷的结构相对更复杂，但表盘上的刻度始终是均匀的，只需调整表盘与底座之间的夹角就能适用于不同纬度。