利萨茹曲线

贡献者：切糕糕; addis; ACertainUser

预备知识　简谐振子

图 1：利萨茹曲线例子。一个可交互的示例见这里。

　　 利萨茹曲线（Lissajous curve）是平面上一点 $P$ 在两个垂直的方向 $x, y$ 分别做相简谐运动形成的轨迹，常见于示波器上。莉萨如曲线可以用以下参数方程表示

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x & = A \sin (a t + ϕ) \\ y & = B \sin (b t) \end{aligned} . \end{matrix}

　　若两简谐运动频率之比 $a / b$ 是一个有理数（通常是两个较小的整数之比），则利萨茹曲线闭合，曲线的周期为两个方向周期 $2 π / a$ 和 $2 π / b$ 的最小公倍数；式中 $ϕ$ 被称为相位差，顾名思义就是两个简谐振动的相位之差。

　　当曲线闭合时，把式 1 中的 $\sin$ 都换成 $\cos$ 曲线形状也不变，因为这相当于给 $x, y$ 同时加上 $π / 2$ 相位。给 $x, y$ 同时加上任意相同的相位都不会改变曲线形状。

　　下文中，我们假设 $ϕ \in (- π, π]$ 。不难证明，给 $ϕ$ 取相反数同样不改变曲线的形状，唯一的区别只是点 $P$ 的运动方向相反。

1. 频率相同

　　频率相同时，两个方向上的频率之比固定为 1，故利萨茹曲线必然闭合。当 $ϕ = 0$ 时，曲线是延 $y = (B / A) x$ 的线段； $ϕ = π$ 时，是延 $y = - (B / A) x$ 的线段；当 $ϕ = \pm π / 2$ 时，轨迹是一个椭圆，椭圆的长短两个轴与 $x, y$ 坐标轴平行。特殊地，如果 $ϕ = \pm π / 2$ 且 $A = B$ 则轨迹是一个圆。

　　当 $ϕ$ 是其他值时，曲线是一个斜置的椭圆。当 $A = B$ 时，椭圆长轴与 $x$ 轴的夹角为 $\pm π / 4$ 。

证明

　　频率相同，即 $a = b$ 时，式 1 可以化为

\begin{matrix} (2) & \frac{x}{A} - \frac{y}{B} \cos ϕ - \frac{\sqrt{B^{2} - y^{2}}}{B} \sin ϕ = 0 . \end{matrix}

当

ϕ = 0

时，式 2 化为

x / A - y / B = 0

，即

y = (B / A) x

，表示一条斜率为

B / A

的直线。当

ϕ = π

时，式 2 化为

y = - (B / A) x

，表示斜率为

- B / A

的直线。

　　当 $ϕ = \pm π / 2$ 时，式 2 可以化为 $x / A = \pm \sqrt{B^{2} - y^{2}} / B$ ，两边平方即可化为式 1 ，表示一个长短轴分别沿 $x$ 、 $y$ 轴的椭圆。又若 $A = B$ ，则表示为一个圆。

　　当 $A = B$ 时，式 2 可以化为

\begin{matrix} (3) & x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos ϕ - A^{2} \sin^{2} ϕ . \end{matrix}

设由式 1 所表示的椭圆旋转

θ

角度后得到的椭圆方程为

\begin{matrix} (4) & \frac{(x \cos θ - y \sin θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{(x \sin θ + y \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1, \end{matrix}

将其展开为一般形式

\begin{matrix} (5) & (a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ) x^{2} + (a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ) y^{2} + 2 (a^{2} - b^{2}) (\sin θ \cos θ) x y - a^{2} b^{2} = 0 . \end{matrix}

对比式 3 和式 5 各项系数，可得

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ = 1 \\ a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ = 1 \\ 2 (a^{2} - b^{2}) \sin θ \cos θ = - 2 \cos ϕ \\ a^{2} b^{2} = A^{2} \sin^{2} ϕ \end{aligned} . \end{matrix}

将式 6 前两式相减，可得

a^{2} \cos (2 θ) = b^{2} \cos (2 θ)

，这说明若

\cos (2 θ) \neq 0

，则

a^{2} = b^{2}

。可由第三式，

ϕ

取其他值时有

a^{2} \neq b^{2}

，所以必然有

\cos (2 θ) = 0

，即

θ = \pm π / 4

。证毕。

　　一般而言，我们可以令 $t = 0$ ，那么曲线与 $x$ 轴的截线长度为 $A \sin (ϕ)$ ，它与曲线的 $x$ 坐标最大值 $A$ 之比为 $\sin ϕ$ ，由此可判断相位差。

图 2：利萨茹曲线

A = B = a = b = 1

，

ϕ = π n / 6

（

n = 0, \dots, 6

）

　　画图代码如下，读者可以试着使用参数运行。

代码 1：lissajous.m

% 画利萨茹曲线
A = 1; B = 1; % 振幅
a = 1; b = 1; % 频率
ph = linspace(0, pi, 7);
t = linspace(0, 2*pi, 1000);
figure; axis equal; hold on; grid on;
xlabel x; ylabel y;
for i = 1:numel(ph)
    x = A*sin(a*t+ph(i));
    y = B*sin(b*t);
    plot(x, y);
end

2. 频率不同

　　对于频率不同的情况，若频率之比为无理数，则两个方向的周期之比也为无理数，因此不存在这两个周期的最小公倍数（或最小公倍数为无穷），此时周期为无穷大，利萨茹曲线永不闭合。此时，随着时间的增加，曲线将会趋于遍布整个定义域 $- A ⩽ x ⩽ A$ ， $- B ⩽ y ⩽ B$ 内所有的点（或称曲线在该区域内稠密）。若频率之比为有理数，则周期之比也为有理数，此时一定存在二者的最小公倍数，即存在一个有限的周期，利萨茹曲线闭合。

　　对于曲线闭合的情况，可以从一个完整周期内的曲线图样推知频率之比。因为在一个完整周期内，某个方向上达到极大值的次数与该方向上的频率呈正比。于是，只要数出一个周期内两个方向的峰值各出现的次数，他们的比值即为两个方向上的频率之比。

图 3：利萨茹曲线（左：

A = B = 1

，

a = 2

，

b = 3

，

ϕ = 0

；右：

A = B = 1

，

a = \sqrt{2}

，

b = \sqrt{3}

，

ϕ = 0

)

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。