电阻的串联和并联

贡献者：零穹; addis

预备知识　欧姆定律

图 1：电阻并联（左）、串联（右）

　　如右边为两电阻的串联。对于串联，流过串联电阻的电流相同，即

\begin{equation} I_1=I_2=I~. \end{equation}

根据欧姆定律式 1

\begin{equation} \begin{aligned} U_1=IR_1~,\\ U_2=IR_2~. \end{aligned} \end{equation}

所以，两电阻串联后总电阻为

\begin{equation} R = \frac{U}{I}=\frac{U_1+U_2}{I} = {R_1 + R_2}~. \end{equation}

　　对于 $n$ 个电阻的串联，可采取同样的证明方法，结果有

\begin{equation} R=\sum_{i=1}^{n}R_i~, \end{equation}

上式也可以用数学归纳法证明。

　　如左边为两电阻的并联。对于并联，两电阻电压相同，即

\begin{equation} U_1=U_2=U~. \end{equation}

根据欧姆定律式 1

\begin{equation} \begin{aligned} I_1=\frac{U}{R_1}~,\\ I_2=\frac{U}{R_2}~. \end{aligned} \end{equation}

所以，两电阻并联后总电阻为

\begin{equation} R = \frac{U}{I}=\frac{U}{I_1+I_2} =\frac{R_1R_2} {R_1 + R_2}~, \end{equation}

或

\begin{equation} \frac{1}{R} = \frac{1} {R_1}+\frac{1}{R_2}~. \end{equation}

　　完全一样的做法，对于 $n$ 个电阻的并联，有

\begin{equation} \frac{1}{R}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}~. \end{equation}