电阻的串联和并联

贡献者：零穹; addis

预备知识　欧姆定律

图 1：电阻并联（左）、串联（右）

电阻的串联

　　如右边为两电阻的串联。对于串联，流过串联电阻的电流相同，即

\begin{matrix} (1) & I_{1} = I_{2} = I . \end{matrix}

根据欧姆定律式 1

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} U_{1} = I R_{1}, \\ U_{2} = I R_{2} . \end{array} \end{matrix}

所以，两电阻串联后总电阻为

\begin{matrix} (3) & R = \frac{U}{I} = \frac{U_{1} + U_{2}}{I} = R_{1} + R_{2} . \end{matrix}

　　对于 $n$ 个电阻的串联，可采取同样的证明方法，结果有

\begin{matrix} (4) & R = \sum_{i = 1}^{n} R_{i}, \end{matrix}

上式也可以用数学归纳法证明。

电阻的并联

　　如左边为两电阻的并联。对于并联，两电阻电压相同，即

\begin{matrix} (5) & U_{1} = U_{2} = U . \end{matrix}

根据欧姆定律式 1

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} I_{1} = \frac{U}{R_{1}}, \\ I_{2} = \frac{U}{R_{2}} . \end{array} \end{matrix}

所以，两电阻并联后总电阻为

\begin{matrix} (7) & R = \frac{U}{I} = \frac{U}{I_{1} + I_{2}} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} . \end{matrix}

　　完全一样的做法，对于 $n$ 个电阻的并联，有

\begin{matrix} (9) & \frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{R_{i}} . \end{matrix}

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