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我们已经知道没有势能时，每个正能量（即每个 $k$ 值）的本征态存在无穷维的简并，我们既可以取无穷多离散的球面波作为简并空间的基底，也可以取无穷多不同方向的平面波作为简并空间的基底，两组基底展开同一个本征值为 $E = k^2/2$ 的子空间。
现在我们来讨论存在短程有心力的情况，令短程力的势能函数为 $V(r)$ 且满足短程条件
\begin{equation}
\lim_{r\to\infty} r^2V(r) = 0~.
\end{equation}
之所以这么定义短程力，是因为当 $r$ 很大时，$V(r)$ 相比与径向方程中的离心势能项可以忽略不计。
这时如果要求解球面波的散射态，可以取一个较大的 $r_0$ 把 $r$ 分成两部分，$r < r_0$ 的部分一般没有解析解，我们可以用数值方法求解。$r > r_0$ 部分的通解是两类球贝塞尔函数的线性组合，即 $A kr n_l(kr) + B kr j_l(kr)$。解出第一部分以后，可以在 $r_0$ 将两部分波函数匹配，使函数值和一阶导数连续，解得 $A, B$ 系数。然后求出相移 $\delta_l(k)$，使1
\begin{equation}
A kr j_l(kr) - B kr y_l(kr) \to C kr j_l [kr + \delta_l(k)]~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\delta_l(k) = \arctan\frac{B}{A}~.
\end{equation}
要归一化，我们只需令 $C = \sqrt{2/\pi}$。要证明带有相移的径向波函数满足归一化条件，我们只需证明微小相移不影响归一化积分的结果
\begin{equation} \begin{aligned}
&\quad \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin[k'r + \delta'(k)(k'-k)] \,\mathrm{d}{r} \\
&= \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin\left(k'r\right) \cos[\delta'(k) \,\mathrm{d}{k} ] \,\mathrm{d}{r} \\
&= \int_0^{\infty} \sin\left(kr\right) \sin\left(k'r\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2} \delta(k - k')~,
\end{aligned} \end{equation}
归一化以后，我们就得到了球面波形式的散射态。
我们希望能找到平面波对应的非束缚本征态，即当 $r \to \infty$ 的时候我们仍然希望看到平面波（想象平面水波遇到一个石头，只会产生局部的扰动）。
（说明未完成，没时间了，直接上公式吧）
边界条件为2
\begin{equation}
\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \to \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } + f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}}{r} \right] ~.
\end{equation}
其中 $f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 是一个只与方向有关的函数，叫做
散射幅。散射幅的模方就是微分截面
\begin{equation}
\frac{\partial \sigma}{\partial \Omega} = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{out}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert r^2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{j}} _{in}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert }
= \left\lvert f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2~.
\end{equation}
将各项球谐展开，令
\begin{equation}
f( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \sum_{l, m} B_{l,m} Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
对比每个球谐项的径向波函数得
\begin{equation}
C_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin[kr -l\pi/2 + \delta_l(k)] = A_{l,m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin\left(kr - l \pi/2\right) + B_{lm} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kr}~.
\end{equation}
其中 $A_{l,m}$ 是已知的平面波的球谐展开系数（
式 3 ），解得另外两个系数为（分别对比 $ \exp\left( \mathrm{i} kr\right) $ 和 $ \exp\left(- \mathrm{i} kr\right) $ 分量的系数）
\begin{equation}
C_{l,m} = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \delta_l(k)} A_{l, m} = \frac{ \mathrm{i} ^l}{k} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \delta_l(k)} Y_{lm}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
B_{l,m} =4\pi \sin\delta_l(k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} l\pi/2} C_{l,m}~.
\end{equation}
1. ^ 我们在第二类贝塞尔函数 $y_l(kr)$ 前面加上负号使其渐进式具有 $ \cos\left(kr - l\pi/2\right) $ 的形式
2. ^ 满足该边界条件的波函数貌似也满足归一化条件 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')$。