三维量子简谐振子（球坐标系）

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　球坐标系中的径向方程，简谐振子（升降算符）

　　本文使用原子单位制。我们希望求解定态薛定谔方程（引用未完成）

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} Ψ + V (r) Ψ = E Ψ, \end{matrix}

其中势能函数为

\begin{matrix} (2) & V (r) = \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2} . \end{matrix}

我们已知角向波函数是球谐函数

Y_{l, m} (\hat{r})

。只需解出方程（式 3 ）即可

\begin{matrix} (3) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{l}}{d r^{2}} + [V (r) + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}}] ψ_{l} = E ψ_{l} . \end{matrix}

总波函数和能级为

\begin{matrix} (4) & ψ_{n, l, m} = R_{n, l} (r) Y_{l, m} (Ω), E_{n, l} = (2 n + l + \frac{3}{2}) ω . \end{matrix}

　　我们可以把式 3 想象成一个一维势阱问题，角动量量子数 $l$ 决定势能 $V (r) + l (l + 1) / (2 m r^{2})$ 在原点附近的形状。由于 $V (r)$ 随 $r$ 无限变大，所以总的束缚态个数是无限的， $n, l$ 也可以取任意非负整数。但对于其他一些有限深的球对称势阱，由于束缚态个数有限， $l$ 的取值存在上限。

　　令 $β = 1 / \sqrt{m ω}$ ， $x = r / β$ ，则径向波函数为

\begin{matrix} (5) & R_{n, l} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} \sqrt{\frac{2^{n + l + 2} n!}{(2 n + 2 l + 1)!!}} x^{l} L_{n}^{l + 1 / 2} (x^{2}) e^{- x^{2} / 2}, \end{matrix}

其中

L_{n}^{l + 1 / 2}

是连带拉盖尔多项式。

　　前几个束缚态如下，其中球谐函数产生的简并数为 $\sum_{l} (2 l + 1) .$

$E = 3 ω / 2$ （ $\deg = 1$ ）
$\begin{matrix} (6) & R_{0, 0} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} 2 e^{- \frac{1}{2} x^{2}} . \end{matrix}$
$E = 5 ω / 2$ （ $\deg = 3$ ）
$\begin{matrix} (7) & R_{0, 1} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} \frac{2 \sqrt{6}}{3} x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} . \end{matrix}$
$E = 7 ω / 2$ （ $\deg = 6$ ）
$\begin{matrix} (8) & R_{0, 2} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} \frac{4}{\sqrt{15}} x^{2} e^{- x^{2} / 2}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} (9) & R_{1, 0} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} \frac{2 \sqrt{6}}{3} (\frac{3}{2} - x^{2}) e^{- x^{2} / 2} . \end{matrix}$
$E = 9 ω / 2$ （ $\deg = 8$ ）
$\begin{matrix} (10) & R_{0, 3} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} 4 \sqrt{\frac{2}{105}} x^{3} e^{- x^{2} / 2}, \end{matrix}$

$\begin{matrix} (11) & R_{1, 1} (r) = \frac{1}{β^{3 / 2} π^{1 / 4}} \frac{4}{\sqrt{15}} (\frac{5}{2} - x^{2}) x e^{- x^{2} / 2} . \end{matrix}$