三维量子简谐振子（球坐标系）
贡献者： addis
预备知识 球坐标系中的径向方程
，简谐振子（升降算符）
本文使用原子单位制。我们希望求解定态薛定谔方程（引用未完成）
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi~,
\end{equation}
其中势能函数为
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2~.
\end{equation}
我们已知角向波函数是
球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$。只需解出方程（
式 3 ）即可
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_l}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_l = E\psi_l~.
\end{equation}
总波函数和能级为
\begin{equation}
\psi_{n,l,m} = R_{n,l}(r) Y_{l,m}(\Omega)~,
\qquad
E_{n,l} = \left(2n + l + \frac32 \right) \omega~.
\end{equation}
我们可以把式 3 想象成一个一维势阱问题，角动量量子数 $l$ 决定势能 $V(r) + l(l + 1)/(2mr^2)$ 在原点附近的形状。由于 $V(r)$ 随 $r$ 无限变大，所以总的束缚态个数是无限的，$n, l$ 也可以取任意非负整数。但对于其他一些有限深的球对称势阱，由于束缚态个数有限，$l$ 的取值存在上限。
令 $\beta = 1/\sqrt{m\omega}$，$x = r/\beta$，则径向波函数为
\begin{equation}
R_{n,l}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \sqrt{\frac{2^{n+l+2} n!}{(2n + 2l + 1)!!}} x^l L_n^{l+1/2}(x^2) \mathrm{e} ^{-x^2/2}~,
\end{equation}
其中 $L_n^{l+1/2}$ 是
连带拉盖尔多项式。
前几个束缚态如下，其中球谐函数产生的简并数为 $\sum_l (2l + 1)~.$
- $E = 3 \omega /2$（$\deg = 1$）
\begin{equation}
R_{0,0}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} 2 \mathrm{e} ^{-\frac12 x^2}~.
\end{equation}
- $E = 5 \omega /2$（$\deg = 3$）
\begin{equation}
R_{0,1}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{2\sqrt 6}{3} x \mathrm{e} ^{-\frac12 x^2}~.
\end{equation}
- $E = 7 \omega /2$（$\deg = 6$）
\begin{equation}
R_{0,2}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{4}{\sqrt{15}} x^2 \mathrm{e} ^{- x^2/2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
R_{1,0}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{2\sqrt 6}{3} \left(\frac32 - x^2 \right) \mathrm{e} ^{-x^2/2}~.
\end{equation}
- $E = 9 \omega /2$（$\deg = 8$）
\begin{equation}
R_{0,3}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} 4\sqrt{\frac{2}{105}} x^3 \mathrm{e} ^{-x^2/2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
R_{1,1}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \frac{4}{\sqrt{15}} \left(\frac52 - x^2 \right) x \mathrm{e} ^{-x^2/2}~.
\end{equation}