拉比频率

贡献者： addis

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　　¹双态系统中

\begin{matrix} (1) & A_{m n} = ⟨ ϕ_{m} (t) | H^{'} (t) | ϕ_{n} (t) ⟩ = ⟨ ψ_{m} | H^{'} (t) | ψ_{n} ⟩ e^{i (E_{m} - E_{n}) t / ℏ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & A c = i ℏ \frac{d}{d t} c . \end{matrix}

　　若微扰哈密顿矩阵的对角元消失（例如束缚态有 $⟨ ψ_{n} | r | ψ_{n} ⟩ = 0$ ），有 $ω_{0} = E_{2} - E_{1}$

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} {\dot{c}}_{1} & = \frac{1}{i ℏ} H_{12}^{'} e^{- i ω_{0} t} c_{2} \\ {\dot{c}}_{2} & = \frac{1}{i ℏ} H_{21}^{'} e^{i ω_{0} t} c_{1} \end{aligned} . \end{matrix}

　　 拉比频率（Rabi Frequency）

　　若矩阵 $H^{'}$ 是一个常数矩阵乘以一个 $\cos (ω t)$ ，当 $ω \to ω_{0}$ 时有

　　拉比频率为

\begin{matrix} (4) & ω_{r} = \frac{1}{2} \sqrt{(ω - ω_{0})^{2} + (| V_{0} | / ℏ)^{2}} . \end{matrix}

　　解

\begin{matrix} (5) & c_{2} (t) = \frac{2 A_{21}^{†}}{i ℏ ω_{r}} \exp [- i (ω - ω_{0}) t / 2] \sin (ω_{r} t / 2), \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & {| c_{1} (t) |}^{2} + {| c_{2} (t) |}^{2} = 1, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & P_{21} (t) = {| c_{2} (t) |}^{2} = \frac{4 {| A_{12} |}^{2}}{ℏ^{2} ω_{r}^{2}} \sin^{2} (ω_{r} t / 2) . \end{matrix}

1. ^ 参考文献：Griffiths [1]、Bransden [2] 和 Sakurai [3]。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed
[2] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed
[3] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition