贡献者： 叶月2_; JierPeter
环同态的概念和群同态是类似的，只不过我们需要兼顾两个运算的性质。
定义 1 环同态
给定环 $R_1$ 和 $R_2$，如果存在映射 $f:R_1\rightarrow R_2$，使得对于任意的 $r, s\in R_1$ 都有 $f(r)+f(s)=f(r+s)$ 和 $f(rs)=f(r)f(s)$，那么我们称 $f$ 是一个从 $R_1$ 到 $R_2$ 的环同态映射（ring homomorphism），而环 $R_1$ 和 $R_2$ 是同态（homomorphic）的环。
容易验证，由于环同态保加法和乘法，乘法对加法的分配律也在同态映射下不变。
一个常见的环同态例子为自然同态（也称典范映射）：如果 $I$ 是环 $R$ 的理想，那么我们有环同态 $\pi:R\rightarrow R/I$，使得对于任意 $r\in R$ 都有 $\pi (r)=r+I$。可以验证这是一个满的环同态。
定义 2 环同构
如果一个环同态是双射，那么我们称它为一个环同构（ring isomorphism），相应的两个环就是同构（isomorphic）的。记 “$R_1$ 和 $R_2$ 同构” 为 $R_1\cong R_2$。
习题 1 验证下列映射是否为环同态
- $f:\mathbb R^{2\times 2}\rightarrow \mathbb R,\quad f(A)=A^i_i,\quad \forall A\in \mathbb R^{2\times 2}$
- $f:\mathbb R^{2\times 2}\rightarrow \mathbb R,f(A)= \operatorname {Tr}A,\quad \forall A\in \mathbb R^{2\times 2}$
- $f:\mathbb R^{2\times 2}\rightarrow \mathbb R,f(A)= \operatorname {det}A,\quad \forall A\in \mathbb R^{2\times 2}$
习题 2 环同态的基本性质
- 证明：环同态把单位元映射为单位元（乘法单位元1和加法单位元0）。
- 证明：环同态把子环映射为子环。
- 证明：$f(-r)=f(r)$
- 证明：若 $r$ 和 $f(r)$ 非零，则有 $f(r^{-1})=f(r)^{-1}$
同构的两个环具有完全相同的运算结构，而同态的两个环的运算结构似而不同，和群的同态、同构类似。
1. 环同态基本定理
定义 3 核
给定环同态 $f:R_1\rightarrow R_2$，记 $ \operatorname {ker}f=\{r\in R_1|f(r)=0\}$，称为同态 $f$ 的核。
从定义可见，环同态首先是加法群的同态，因此同态映射的核是原环的正规子群。实际上，$ \operatorname {ker} f$ 还是 $R_1$ 的理想，只需验证 “左右吸收律” 成立即可。
和群同态基本定理类似，我们有如下环同态基本定理：
定理 1 第一同态定理
给定满射的环同态：$f:R_1\rightarrow R_2$，记 $K= \operatorname {ker}f$，则有：
- $R_1/K\cong R_2$，且存在同构映射 $g:R_1/K\rightarrow R_2$，使得交换图成立；
- 取 $R_1$ 中包含 $K$ 的子环，则 $f(B)$ 也是子环，且 $B$ 的左陪集与 $f(B)$ 的左陪集一一对应；
- 取 $R_1$ 中包含 $K$ 的理想$I$，则 $R_1/I \cong R_2/f(I)$
Proof.
首先是第一条，摘去环的乘法结构后这就是群同态基本定理。因此假设同构映射就是 $f$，可证 $f(r+K)=f(r),\forall r\in R_1$。也就是说，$K$ 的每个左陪集映射到 $R_2$ 上的一个点。同构映射是保运算结构不变的双射，因此先证明运算保加法和乘法：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(r_1 +K)+f(r_2 +K)&=f(r_1)+f(r_2)=f(r_1+r_2+K).\\
f(r_1 +K)f(r_2 +K)&=f(r_1 r_2+K)~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于该环同态是满射，所以相应的同构映射也是满射。下面证明这还是单射。
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(r_1+K)=f(r_2+K)&\Leftrightarrow f(r_1)=f(r_2)\\
&\Leftrightarrow f(r_1-r_2)=0\\
&\Leftrightarrow r_1-r_2\in K\\
&\Leftrightarrow r_1+K=r_2+K~.
\end{aligned}
\end{equation}
然后我们证明
第二条。要证明 $f(B)$ 的子环，只需要证明对加法和乘法封闭即可。
设 $f(b_1),f(b_2)\in R_2,\,\forall b_1,b_2\in R_1$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
f^{-1}(r_1)f(r_2)\in f(B)&\Leftrightarrow f(r_1^{-1}r_2)\in f(B)\\
&\Leftrightarrow r_1^{-1}r_2\in B~.
\end{aligned}
\end{equation}
加法的证明同理。
$B$ 由 $K$ 的部分左陪集组成。因为设 $r\in B$，有 $r+K\subseteq B$，由于 $f(r+K)=f(r)$，每个被 $B$ 包含的左陪集与 $f(B)$ 内的元素一一对应，设 $B=\bigcup r_i+K$。则 $B$ 的每个左陪集 $r+B=\bigcup (r+r_i)+K$，与 $f(B)$ 的左陪集 $\bigcup f(r+r_i)=f(r)+f(B)$ 一一对应。
易证第三条中 $f(I)$ 是 $R_2$ 的理想，同样完整包含 $K$ 的若干左陪集。因此同理我们可以得到 $R_1/I$ 与 $R_2/f(I)$ 的双射。现在利用第一条证明它们同构。也就是说只需证明：
- 存在从 $R_1$ 到 $R_2/f(I)$ 的满同态。
构建复合映射为 $g=\pi\circ f:R_1\rightarrow R_2\rightarrow R_2/f(I)$，容易验证该映射符合要求。
- $I$ 为上述满同态的核，即 $I= \operatorname {ker}g$。一方面，设 $r\in I$，则 $g(r)\in f(I)$，因此 $r\in \operatorname {ker}g$；另一方面，设 $r\in \operatorname {ker}g$，则 $g(r)\in f(I)$，两边乘以 $g^{-1}$ 得证 $r\in I$。
定理 2 第二同态定理
若环 $S$ 是环 $R$ 的子环，且 $I$ 为环 $R$ 的理想，则有：
- $S+I:=\{s+a|s\in S,a\in I\}$ 也是 $R$ 的子环。
- $S\cap I$ 是 $S$ 的理想。
- $(S+I)/I$ 同构于 $S/(S\cap I)$。
前两条证明从略。第三条只需先证明 $S$ 满同态于 $(S+I)/I$，这是从单点集到陪集的映射，易证满同态，然后证明 $S\cap I$ 是该同态的核即可。设 $s\in S$，该映射为 $f(s)=s+I$，因而若 $s+I=I$，必有 $s\in I$。
定理 3 第三同态定理
令 $R$ 为任意环，$J$ 与 $I$ 为环上的理想，且 $J\subset I$。可得：
\begin{equation}
(R/J)/(I/J)\cong R/I~.
\end{equation}
易证 $I/J$ 为 $R/J$ 的理想。仿照第二同态定理的证明过程，接下来先证明存在从 $R/J$ 到 $R/I$ 的满同态（其实就是 $R+J\rightarrow R+I$1），并证明满同态的核正是 $I/J$ 即可。
1. ^ 由于商环的陪集保运算，因而这样的同态映射总存在。由于 $J\subset I$，$R+I$ 的陪集可能比 $R+J$ 中相应代表元素所在的陪集要更 “大些”。