半同态

贡献者：叶月2_; addis

预备知识　环

　　 $f:R_1\rightarrow R_2$ 是两个环之间的映射。对于任意 $a,b\in R_1$ 有：

\begin{equation} \left\{\begin{array}{c} f(a+b)=f(a)+f(b) \\ f(a b)=f(b)f(a) \end{array}\right. ~,\end{equation}

则称 $f$ 是反同态。

　　若映射 $f$ 保环加法不变，$f(ab)=f(a)f(b)$ 或 $f(b)f(a)$，则称 $f$ 是半同态。

　　给定环 $R_1,R_2$ 及半同态 $f$，$f$ 要么是同态，要么是反同态。

　　 证明：

　　设 $r\in R_1$，$S_1=\{a\in R_1|f(ar)=f(a)f(r)\},S_2=\{a\in R_1|f(ar)=f(r)f(a)\}$，则 $R_1=S_1\cup S_2$。

　　可证 $S_1$ 是 $R_1$ 的子群。设任意 $a_1,a_2\in S_1$，则 $f((a_1-a_2)r)=f(a_1r)-f(a_2r)=f(a_1-a_2)f(r)$，同理 $S_2$ 也是 $R_1$ 的子群。

　　若 $a_1\in S_1-S_2,b_1\in S_2-S_1$，则 $a_1-b_1\in R_1-S_1-S_2$，矛盾，因而 $R_1=S_1$ 或 $S_2$。称 $R_1$ 是 $r$“生成” 的，使得 $f$ 要么保同态，要么保反同态的环。

　　设 $l_1$ 为环上的集合，其内所有元素都能生成保同态关系不变的 $R_1$，$l_2$ 生成的 $R_1$ 保反同态关系不变，易证这两个集合也是环上的子群。同上述过程类似，可证 $R_1=l_1$ 或 $l_2$。