半同态

贡献者：叶月2_; addis

预备知识　环

定义 1　

　　 $f : R_{1} \to R_{2}$ 是两个环之间的映射。对于任意 $a, b \in R_{1}$ 有：

\begin{matrix} (1) & {\begin{matrix} f (a + b) = f (a) + f (b) \\ f (a b) = f (b) f (a) \end{matrix}, \end{matrix}

则称

f

是反同态。

　　若映射 $f$ 保环加法不变， $f (a b) = f (a) f (b)$ 或 $f (b) f (a)$ ，则称 $f$ 是半同态。

定理 1　华罗庚半同态定理

　　给定环 $R_{1}, R_{2}$ 及半同态 $f$ ， $f$ 要么是同态，要么是反同态。

　　 证明：

　　设 $r \in R_{1}$ ， $S_{1} = {a \in R_{1} | f (a r) = f (a) f (r)}, S_{2} = {a \in R_{1} | f (a r) = f (r) f (a)}$ ，则 $R_{1} = S_{1} \cup S_{2}$ 。

　　可证 $S_{1}$ 是 $R_{1}$ 的子群。设任意 $a_{1}, a_{2} \in S_{1}$ ，则 $f ((a_{1} - a_{2}) r) = f (a_{1} r) - f (a_{2} r) = f (a_{1} - a_{2}) f (r)$ ，同理 $S_{2}$ 也是 $R_{1}$ 的子群。

　　若 $a_{1} \in S_{1} - S_{2}, b_{1} \in S_{2} - S_{1}$ ，则 $a_{1} - b_{1} \in R_{1} - S_{1} - S_{2}$ ，矛盾，因而 $R_{1} = S_{1}$ 或 $S_{2}$ 。称 $R_{1}$ 是 $r$ “生成” 的，使得 $f$ 要么保同态，要么保反同态的环。

　　设 $l_{1}$ 为环上的集合，其内所有元素都能生成保同态关系不变的 $R_{1}$ ， $l_{2}$ 生成的 $R_{1}$ 保反同态关系不变，易证这两个集合也是环上的子群。同上述过程类似，可证 $R_{1} = l_{1}$ 或 $l_{2}$ 。

半同态

定义 1

定理 1 华罗庚半同态定理

定义 1　

定理 1　华罗庚半同态定理