贡献者: DTSIo; JierPeter
本节采用爱因斯坦求和约定。
黎曼度量(Riemannian metric)或伪黎曼度量(pseudo-Riemannian metric)是黎曼几何或伪黎曼几何所要求的基本结构。赋予黎曼度量/伪黎曼度量的微分流形被称为黎曼流形/伪黎曼流形,它们既是几何学研究的对象,也是广义相对论得以展开的舞台。
这里将一直设 $M$ 是一个 $n$ 维实微分流形。
使用其它表述的黎曼度量另见黎曼联络的子节 1 。
给定局部坐标系 $\{x^i\}$ 后,黎曼度量 $g$ 的局部表达式是 $$ g_{ij}(x)dx^i\otimes dx^j~, $$ 这里 $g_{ij}(x)=g_{ji}(x)$,而且对于任何向量 $(X^i)_{i=1}^n\neq0$ 都有 $$ g_{ij}X^iX^j>0~. $$
有了黎曼度量,就可以谈论诸如长度/面积/体积之类的度量性质了。例如,设 $\gamma:[a,b]\to M$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的一条道路,则定义其长度为 $$ L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))}dt~. $$ 如果用局部坐标系给出曲线的局部参数方程 $x(t)=(x^i(t))_{i=1}^n$,则 $$ L[\gamma]:=\int_{a}^b \sqrt{g_{ij}(x(t))(\dot x^i(t),\dot x^j(t))}dt~. $$ 容易验证:曲线的长度不依赖于其参数化的方式。
1. ^ 更适合初学者的定义见黎曼联络词条。