贡献者： 零穹
1有了带余除法，我们自然会想到像整数一样来定义多项式的整除、因式、倍式等概念。同时，带余除法还给出了多项式整除性的一个判别法。
定义 1 整除、因式、倍式
设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式，若存在数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=q(x)g(x)$，则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$，记作 $g(x)|f(x)$，并称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的因式，$f(x)$ 为 $g(x)$ 的倍式.
由定义 1 ，容易验证：
- 任意多项式一定整除自身：$f(x)|f(x)$;
- 零多项式只整除零多项式：$0|0$；
- 任意一个非零多项式一定整除零多项式：$f(x)|0$；
- 零次多项式整除任意多项式：$c|f(x)$，其中 $c\neq0\in\mathbb{F}$。
根据这 4 条性质，规定：零次多项式，以及 $f(x)$ 的与其次数相同的因式，称为 $f(x)$ 的平凡因式；零多项式，以及 $f(x)$ 的与其次数相同的倍式，称为 $f(x)$ 的平凡倍式.
有了整除的概念，考虑到带余除法，自然容易想到，两个多项式能够整除是其余式为 0。因此，下面定理是显然的
定理 1
设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的两个多项式，$g(x)\neq 0$，则 $g(x)|f(x)$ 的充要条件是 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的余式为 0，即存在多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=q(x)g(x)$。
定义 2 多项式的商
若 $g(x)|f(x)$，则 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的商 $q(x)$ 可表示
\begin{equation}
q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}~.
\end{equation}
整除具有下面性质：
- 若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|f(x)$，则 $f(x)=cg(x)$，$c$ 为非 0 常数；
- 若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|h(x)$，则 $f(x)|h(x)$；
- 若 $f(x)|g_i(x)\;(i=1,2,\cdots,n)$，则 $f(x)|\sum\limits_{i=1}^{n}u_i(x)g_i(x)$，$u_i(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式。
有了因式，当然可以定义两个多项式的公因式及最大公因式。
定义 3 因式、最大公因式
设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的两个多项式，若数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $d(x)$ 满足
\begin{equation}
d(x)|f(x)\quad\&\quad d(x)|g(x)~.
\end{equation}
则称 $d(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个
公因式。
若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的任意公因式都是它们公因式 $d(x)$ 的因式，则称 $d(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个
最大公因式，并把 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的
首项系数为 1的最大公因式记为 $(f(x),g(x))$。
由于对任意多项式 $f(x)$ 和数域 $\mathbb{F}$ 中的数 $c\neq 0$，都有 $c|f(x)$，所以非零多项式的最大公因式总是一个非零多项式。而 $f(x)$ 是 $f(x)$ 与 0 的一个最大公因式。
整除性质 1 表明，若 $d(x),d_1(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的两个最大公因式，则 $d(x)=cd_1(x)$，其中 $c\neq 0$ 为常数。
例 1 整除性质 1 的证明
试证明：若 $f(x)|g(x)$ 且 $g(x)|f(x)$，则 $f(x)=cg(x)$，$c$ 为非 0 常数。
证明：显然，若 $f(x)=0$，由 $f(x)|g(x)$，有 $g(x)=0$，则 $f(x)=cg(x)$ 显然成立。下面考虑 $f(x)\neq 0$ 情形。
条件 $f(x)|g(x)$ 和 $g(x)|f(x)$ 意味着
\begin{equation}
f(x)=q(x)g(x)\quad g(x)=q_1(x)f(x)~.
\end{equation}
所以
\begin{equation}
f(x)=q(x)q_1(x)f(x)~.
\end{equation}
由于
定理 1 ，必有
\begin{equation}
q(x)q_1(x)=1~,
\end{equation}
上式两边取次数，由
式 8 ，
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;q(x)+\mathrm{deg}\;q_1(x)=0~,
\end{equation}
显然 $q(x),q_1(x)\neq 0$，而非零多项式的次数必定大于等于 0，所以要上式成立，只能
\begin{equation}
\mathrm{deg}\;q(x)=\mathrm{deg}\;q_1(x)=0~,
\end{equation}
结合
式 5 ，有
\begin{equation}
q(x)=1/q_1(x)=c\neq 0~.
\end{equation}
即 $f(x)=cg(x)$。
1. ^ 吴群。矩阵分析[M].上海：同济大学出版社