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- 本文处于草稿阶段。
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
例题：比如说有一个概率分布 $y = f(x)$。 它的
平均值（数学期望）为 $\bar x = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \,\mathrm{d}{x} $，
方差为 $\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar x)^2 f(x) \,\mathrm{d}{x} = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \,\mathrm{d}{x} \right) - \bar x^2 = \overline{x^2} - \bar x^2~,$
标准差为 $\sigma_x = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar x)^2 f(x) \,\mathrm{d}{x} } $。
如果测量一个数据，这三个值就可以用来衡量这个数据的特征。
但如果测量 $n$ 次平均值，那显然平均值显然要比一次测量更可靠，${\sigma_{\bar x}} < {\sigma_x}$。 各种教科书上都会给出 ${\sigma_{\bar x}} = \frac{1}{\sqrt n }{\sigma_x}$ 或者 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac{1}{n}\sigma_x^2$。 那么这个公式到底怎么来的呢？
其实在上式中，$\sigma_{\bar x}^2$ 的定义是
\begin{equation}
\sigma_{\bar x}^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i - \bar x \right) ^2 f(x_1) f(x_2)\dots f(x_n) \,\mathrm{d}{x_1} \dots \,\mathrm{d}{x_n} ~.
\end{equation}
下面就从这个定义证明 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac{1}{n}\sigma_x^2$。
先考虑两次测量，即 $n = 2$ 的情况。先后得到 $x_1, x_2$ 的概率密度是 $f_2(x_1, x_2) = f(x_1) f(x_2)$。不难证明归一化：
\begin{equation}
\iint f(x_1) f(x_2) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} = \int f(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \int f(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} = 1 \times 1 = 1 ~,
\end{equation}
先看 $(x_1 + x_2)/2$ 的平均值，令 $y = (x_1 + x_2)/2$。
\begin{equation} \begin{aligned}
\bar y &= \iint \frac{x_1+x_2}{2} f(x_1) f(x_2) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \\
& = \frac12 \int {{x_1} f(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} } \int f(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} + \frac12 \int f(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \int x_2 f(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \\
&= \frac{\bar x}{2} + \frac{\bar x}{2} = \bar x~.
\end{aligned} \end{equation}
结论是，进行两次测量取平均值，数学期望就是测量一次的数学期望。这个结论是符合常识的。
根据同样的方法，可以测量方差。
\begin{equation} \begin{aligned}
\sigma_{\bar x}^2 &= \iint \left(\frac{x_1+x_2}{2} - \bar x \right) ^2 f(x_1) f(x_2) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \\
&= \frac12 \left(\overline{x^2} - \bar x^2 \right) = \frac12 \sigma_x^2~,
\end{aligned} \end{equation}
所以 $\sigma_{\bar x}^2 = \frac12 \sigma_x^2$， 且 $\sigma_{\bar x} = \frac{1}{\sqrt 2 }\sigma_x~.$
对于 $n > 2$ 的情况，利用求和符号和积分运算法则，也很容易证明 $\sigma_{\bar x} = \frac{1}{\sqrt n} \sigma_x~.$
当 $N$ 很大时，另一种证明方法是使用中心极限定理。