贡献者： JierPeter
结式和判别式都是由多项式的系数组合成的表达式，刻画了多项式的根的性质。其中结式可用于判断两个多项式有无公共根，而判别式可用于判断一个多项式有无重根。
介绍概念时，我们会先给出定义，然后再给例子来加深理解。
1. 结式
定义 1 结式
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_m)$ 和 $g(x)=b(x-\beta_1)(x-\beta_2)\cdots(x-\beta_n)$，且两多项式的系数都取自域 $\mathbb{F}$1。
则记
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname {Res}(f, g)&=a^nb^m(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_1)\cdots(\alpha_m-\beta_n)\\
&=a^n\prod_{i} g(\alpha_i)\\
&=(-1)^{mn}b^m\prod_{i} f(\beta_i)~.
\end{aligned}
\end{equation}
称之为 $f$ 和 $g$ 的
结式（resultant）
结式有以下两个重要性质：
定理 1
设 $f, g$ 是系数取自域 $\mathbb{F}$ 的多项式。则 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当 $f, g$（在 $\mathbb{F}$ 的代数闭包中）有共同根。
证明：
由根的定义和式 1 ，显然 $ \operatorname {Res}(f, g)=0$ 当且仅当存在 $\alpha_i=\beta_j$ 的情况。
证毕。
另一个性质式，能用多项式的系数来表示结式，于是，我们能从系数轻易判断两多项式有无公共根。
定理 2
设 $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_0$，$g(x)=b_nx^n+\cdots+b_0$，其中各系数 $a_i, b_j$ 都取自域 $\mathbb{F}$，且 $a_mb_m\neq 0$。则
\begin{equation}
\operatorname {Res}(f, g)=
\begin{vmatrix}
a_m&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots& & \ddots\\
&&a_m\cdots&\cdots&a_0\\
b_n&\cdots&\cdots&b_0\\
&\ddots& & \ddots\\
&&b_n\cdots&\cdots&b_0\\
\end{vmatrix}~,
\end{equation}
其中
式 2 的前 $n$ 行都是 $a_i$，后 $m$ 行都是 $b_j$。
举例而言，$ax^2+bx+c$ 和 $dx+e$ 的结式是
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
d&e&0\\
0&d&e
\end{vmatrix}
=
ae^2+cd^2-bde~.
\end{equation}
证明过于长，此处暂略。
2. 判别式
定义 2 判别式
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中，且有根 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$（重根也按重数分别计入）。
记
\begin{equation}
\operatorname {Dis}(f) = a^{2(n-1)}\prod_{1\leq i< j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2~.
\end{equation}
称之为 $f$ 的
判别式（discriminant）。
例 1
二次多项式 $ax^2+bx+c$ 又可以写为
\begin{equation}
\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)~,
\end{equation}
因此其判别式为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right)^2\\
&=\frac{b^2-4ac}{a^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
看起来，这个和中学教的 $b^2-4ac$ 相差一个因子 $a^2$。不过对于分辨是否有重根，这个因子没有影响，因为我们只看判别式是不是零。详见
定理 3 。
定理 3
设 $f(x)$ 的系数都在域 $\mathbb{F}$ 中，且次数大于等于 1。则 $f$无重根的充要条件是 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$。
证明：
充分性：
设 $f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 有重根，即存在 $i\neq j$ 使得 $\alpha_i=\alpha_j$。于是根据式 4 ，$ \operatorname {Dis}f = 0$。因此 $ \operatorname {Dis}f\neq 0$ 时 $f$ 不能有重根。
必要性：
同样由式 4 ，当各 $\alpha_i$ 互不相等时，$ \operatorname {Dis}f\neq 0$。
证毕。
将定理 2 和定理 3 相结合，我们还能得到判别式的行列式表达法：
定理 4
设 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_n$ 的系数 $a_i$ 都在域 $\mathbb{F}$ 中，且其次数大于等于 2，则
\begin{equation}
\operatorname {Dis}(f) = (-1)^{n(n-1)/2}\frac{1}{a_n}
\begin{vmatrix}
a_n&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots&&&\ddots\\
&&a_n&\cdots&\cdots&a_0\\
na_n&\cdots&\cdots&a_0\\
&\ddots&&&\ddots\\
&&na_n&\cdots&\cdots&a_0
\end{vmatrix}~.
\end{equation}
对于 $f$ 有无重根的深入讨论，参见域论中的可分扩张文章。
1. ^ 这里用 “域” 这个术语是为了尽可能全面，避免重复文章。在初等数学中，我们常取 $\mathbb{F}$ 为有理数域$\mathbb{Q}$ 或实数域$\mathbb{R}$，也就是说多项式的系数取自有理数域和实数域。具体情况看具体情况下的声明。