电容—电阻电路充放电曲线

贡献者：零穹; addis; なりもと

预备知识　电容，一阶线性微分方程

图 1：电容电阻串联

　　回路中有直流电源 $U$ ，电阻 $R$ 和电容 $C$ 。当开关拨向 1 时，接通电源，电容器充电；当开关拨向 2 时，断开电源，电容器放电。对于充放电过程有如下方程

\begin{matrix} (1) & I R + U_{C} = {\begin{cases} U & (充电) \\ 0 & (放电) . \end{cases} \end{matrix}

设电容器极板带电量为

Q

，由电流的定义式 1 和电容的定义式 1

\begin{matrix} (2) & I = \frac{d Q}{d t} = C \frac{d U_{C}}{d t}, \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (3) & R C \frac{d U_{C}}{d t} + U_{C} = {\begin{cases} U & (充电) \\ 0 & (放电) . \end{cases} \end{matrix}

这是一个一阶线性常微分方程。初始条件为

\begin{matrix} (4) & U_{C} = {\begin{cases} 0 & (充电) \\ U & (放电) . \end{cases} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (5) & U_{C} (t) = {\begin{cases} U (1 - e^{- t / (R C)}) & (充电) \\ U e^{- t / (R C)} & (放电) . \end{cases} \end{matrix}

可以看到当

t \to \infty

时，对于充电过程：

U_{C} = U

；而对放电过程：

U_{C} = 0

。

　　记 $τ = R C$ 为该电路的时间常数。由式 5 可知，

\begin{matrix} (6) & U (τ) = {\begin{cases} U (1 - e^{- 1}) & (充电) \\ U / e & (放电) . \end{cases} \end{matrix}

利用式 6 即可在实验中确定

τ

，进而根据

R

确定

C

，反之亦然。

　　作出 $R C$ 电路的充放电曲线如图 2

图 2：充电过程（左）和放电过程（右）

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