纯滚动

贡献者：なりもと; addis

预备知识　刚体定轴转动

1. 纯滚动

　　接触面之间没有相对滑动的滚动称为纯滚动，或称无滑动滚动。对于纯滚动的刚体，与接触面相接触的点保持静止。以质量分布均匀的球在水平面上运动为例，如图 1

图 1：纯滚动

　　应该满足 $v_{P} = 0$ ，并且 P 点处的切向加速度为 0。

　　对于纯滚动的物体，有一定的约束条件。（这里讨论的是如球、圆柱之类的圆形刚体）

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} v_{C} & = R ω, \\ a_{C} & = R β . \end{aligned} \end{matrix}

其中，

v_{C}, a_{C}

分别是质心的速度和加速度大小，

R

是半径，

ω, β

分别是在质心参考系下的转动角速度和角加速度。

　　假设图 1 中的刚体向前位移了 $d x$ ，角位移为 $d θ$ ，刚体所受的摩擦力为 $f$ ，那么摩擦力做的功可以分为两部分：一部分是 $f$ 沿 $d x$ 做的功，另一部分是 $f$ 的力矩沿 $θ$ 做的功

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} W & = f \cdot d x + (R \times f) \cdot d θ \\ = - f d x + f R d θ, \end{aligned} \end{matrix}

注意到

d x = R d θ .

　　于是

\begin{matrix} (3) & W = f (- d x + R d θ) = 0 . \end{matrix}