宇称算符
贡献者： addis
对多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(x_1, \dots, x_N)$。 定义宇称算符 $\Pi$ 如下
\begin{equation}
\Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
若函数内积
定义为（星号表示复共轭）
\begin{equation}
\left\langle f \middle| g \right\rangle = \int f^*( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}^{N}{x} ~,
\end{equation}
容易证明宇称算符是一个厄米算符。对本征方程
\begin{equation}
\Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )~,
\end{equation}
容易证明
1宇称算符的本征值 $\lambda$ 只可能等于 $1$ 或 $-1$。我们说 $\lambda = 1$ 的函数具有
偶宇称（even parity），$\lambda = -1$ 的函数具有
奇宇称（odd parity）。它们分别满足
\begin{equation}
f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \pm f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
对于一元函数，具有奇宇称的就是
奇函数（odd function），具有偶宇称的就是
偶函数（even function）。
1. ^ 分别令 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为某对称的两点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$，使函数值不为零。本征方程要求 $f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$ 且 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$，所以必有 $\lambda^2 = 1$，$\lambda = \pm 1$。