贡献者： 零穹
1相空间和相流是经典场论的基本概念，经典场论的几何图像以它们作为基石得以构建。在给出严格的数学定义之前，我们先研究一些例子，这些例子将有助于我们进一步的理解。
1. 唯象理解
相空间
研究一个物理系统，可以说是研究它的发展过程，发展过程即是指它的过去、现在和未来系统所处的状态。
一个过程称为确定的，如果它的整个过去和整个未来能由它现在的状态唯一确定。一个过程的所有可能状态称为它的相空间，相空间的元素称为相点。
例 1
经典力学研究系统的运动，这个运动的过去和未来由系统中所有点的初始位置和初始速度唯一确定。力学系统的相空间是由所有质点可能出现的位置和速度构成的集合，其上每一元素是系统所有质点的某一可能位置和可能速度的集合。具体来说，假设 $x_{i},y_i,z_i;\dot{x}_i,\dot{y}_i,\dot z_i$ 分别代表第 $i$ 个质点在三维空间中的位置和速度，且质点共有 $n$ 个，则相空间上的每一元素可以表示为 $(x_1,y_1,z_1\cdots,x_n,y_n,z_n;\dot x _1,\dot y_1,\dot z_1\cdots,\dot x_n,\dot y_n,\dot z_n)$。显然这一相空间处于一个 $6n$ 维的空间中。
量子力学中质点的运动不是由确定的过程描述的。
一个过程称为有限维的，如果它的相空间是有限维的，即用来描述它的状态的参数个数是有限的。例如刚刚例子中的经典力学中 $n$ 个质点的运动对应的过程是有限维的，它的相空间维数是 $6n$。而流体运动的过程不能用有限维相空间来描述。
一个过程称为可微的。如果它的相空间具有可维流形（定义 6 ）的结构，并且它的状态随时间的变化由可微函数描述。例如：力学系统的质点坐标和速度随时间的变化以可微方式进行；而在量子力学中质点的位置则不能用可微函数来描述（否则它将同时具有确定的位置和速度，而这违背了不确定原理）。
相流
相流是 “确定过程” 的数学模型。其直观理解如下：
设 $M$ 是相空间而 $x\in M$ 是过程的初始状态，又设 $g^t x$ 表示初始状态为 $x$ 的过程在时刻 $t$ 的状态。对每一实数 $t$，$g^t$ 确定相空间 $M$ 到它自身的一个映射：
\begin{equation}
g^t:M\rightarrow M~.
\end{equation}
此映射称为
推进映射，它将每一状态 $x\in M$ 映入新的状态 $g^t x\in M$。例如 $g^0$ 是恒等映射，它将 $M$ 的每一点留在它原来的位置。而且
\begin{equation}
g^{t+s}=g^tg^s~.
\end{equation}
因为 $x$ 经过时间 $s$ 后进入状态 $y=g^s x$，$y$ 经过时间 $t$ 后进入状态 $z=g^t y$ 和经过时间 $t+s$ 后进入状态 $z=g^{t+s} x$ 是相同的。
对任一相点 $x\in M$，将它作为过程的初始状态。则随着时间的流逝，此过程的状态将改变，而点 $x$ 在相空间中将描出一条相曲线 $\{g^tx|t\in \mathbb R\}$。由于每个相点沿着它自己的相曲线运动，因此 $t$ 推进映射族 $g^t;M\rightarrow M$ 正好构成相流。
2. 严格定义
现在来进行严格的定义，在每种情形 $M$ 都是一个任意的集合。
定义 1 单参数变化群
一个由所有实数组成的集合 $(t\in \mathbb R)$ 所标记的，由集合 $M$ 到它自身的映射族 $\{g^t\}$ 称为 $M$ 的单参数变换群，若对所有的 $s,t\in\mathbb R$ 满足
\begin{equation}
g^{t+s}=g^tg^s~,
\end{equation}
且 $g^0$ 是恒等映射（它使每点固定）。
显然，单参数变换群是个交换的群（即 $g^tg^s=g^sg^t$），且每个映射 $g^t$ 是个双射。事实上，$g^tg^s=g^{t+s}=g^{s+t}=g^sg^t$。双射证明如下：若 $g^t x=g^t y$，则 $x=g^0x=g^{-t}g^tx=g^{-t}g^ty=g^0y=y$；任意 $x\in M$，$\exists g^{-t}x\in M$，使得 $g^t(g^{-t}x)=x$。
定义 2 相流，相空间
由集合 $M$ 和 $M$ 的单参数变换群 $\{g^t\}$ 组成的偶对 $(M,\{g^t\})$ 称为相流。其中，$M$ 称为相流的相空间，而它的元素称为相点。
定义 3 运动
设 $x\in M$ 是任一相点，则实直线2到相空间的映射：
\begin{equation}
\varphi:\mathbb R\rightarrow M,\quad \varphi(t)=g^tx~,
\end{equation}
称为相流 $\{M,{g^t}\}$ 作用下点 $x$ 的
运动。
定义 4 相曲线
在运动 $\varphi$ 下 $\mathbb R$ 的像称为相流 $(M,\{g^t\})$ 的相曲线。
显然，相曲线是相空间的子集。
证明:
因为 $g^t$ 是个双射，所以对每一 $x\in M$，$g^t x$ 仅有一个像。而若过 $x$ 有两条相曲线，则对任意 $t>0$，$g^tx$ 将有两个像，它们分别位于两相曲线上，而由前述，这是不可能的。
证毕！
这一定理表明，在具有单参数变换群 $\{g^t\}$ 的相流下，初始状态给定的系统的发展过程将唯一被确定，所以说，相流是确定过程的数学模型。
定义 5 静止点
若一相点 $x\in M$ 的相曲线是该点本身，即 $g^t x=x,\forall t\in\mathbb R$，则相点 $x$ 称为相流 $\{M,\{g^t\}\}$ 的平衡位置或静止点。
3. 扩张相空间和积分曲线
扩张相空间和积分曲线的概念依赖于集合的直积和映射的图形这两个概念。
定义 6 映射的图形
映射 $f:X\rightarrow B$ 的图形是指直积 $A\times B$ 的子集:
\begin{equation}
\{(a,f(a)|a\in A)\}~.
\end{equation}
定义 7 扩张相空间
实 $t$ 轴和相空间 $M$ 的直积 $\mathbb R\times M$ 称为相流 $\{M,\{g^t\}\}$ 的扩张相空间，运动式 4 的图形称为相流 $\{M,\{g^t\}\}$ 的积分曲线。
习题 1
证明经过扩张相空间的每一点有且仅有一条积分曲线。
提示：和定理 1 同样的证。
习题 2
证明 $x$ 是静止点，当且仅当水平直线 $\mathbb R\times x$ 是积分曲线。
提示：$g^t x=x,\forall t\in\mathbb R\Leftrightarrow\{(t,g^t x)|t\in \mathbb R\}=\mathbb R\times x$，而左边是静止点，右边是积分曲线。
习题 3
证明沿时间轴的移动变换：
\begin{equation}
h^s:\mathbb R\times M\rightarrow\mathbb R\times M,\quad h^s(t,x)=(t+s,x)~,
\end{equation}
将积分曲线变为积分曲线。
提示：因为 $\{(t+s,x)|t\in\mathbb R\}=\mathbb R\times x=\{(t,x)|t\in\mathbb R\}$。
1. ^ 阿诺尔德,常微分方程.
2. ^ 即实数集的直线图像，比如熟知的 x 坐标轴