贡献者： JierPeter
形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=f(x)g(y)$ 的微分方程，称作变量可分离方程。这类方程是最容易解的。
对方程两边进行移项，得到 $\frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}{y} =f(x) \,\mathrm{d}{x} $，这样就把变量分离开了。两边同时求积分，得到等式
\begin{equation}
\int\frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}{y} =\int f(x) \,\mathrm{d}{x} +C~,
\end{equation}
其中 $C$ 是积分常数。
可见，式 1 的左边是 $y$ 的函数，右边是 $x$ 的函数，只要能把这两个积分写出来，那么微分方程也就解出来了。
例 1
考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=xy$。
分离变量后有
\begin{equation}
\int\frac{1}{y} \,\mathrm{d}{y} =\int x \,\mathrm{d}{x} +C~.
\end{equation}
算出积分后可得
\begin{equation}
\ln \left\lvert y \right\rvert =\frac{1}{2}x^2+C~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\left\lvert y \right\rvert = \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}x^2}\cdot \mathrm{e} ^C~.
\end{equation}
将 $ \mathrm{e} ^C$ 重新记为一个新的常数 $K$，那么该方程的通解最终就可以表示为
\begin{equation}
y=\pm K \mathrm{e} ^{\frac{1}{2}x^2}~.
\end{equation}
习题 1
求解方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{x}{y}$。答案是 $ \left\lvert x \right\rvert = \left\lvert y \right\rvert $，也可以写成 $x^2=y^2$。
习题 2
求解方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{t^2}{v+b}$。答案是 $3v^2+6bv=2t^3$，也可以写成 $t=(\frac{3}{2}v^2+3bv)^{1/3}$.
1. 可化为变量可分离形式的方程
定理 1
形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(\frac{y}{x})$ 的方程，可以化为变量可分离的形式。
证明：
定义一个新的变量 $u=\frac{y}{x}$，于是 $y=ux$，于是 $ \,\mathrm{d}{y} =u \,\mathrm{d}{x} +x \,\mathrm{d}{u} $。
于是原方程可写为
\begin{equation}
u+x\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(u)~,
\end{equation}
也就是
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{g(u)-u}{x}~,
\end{equation}
这是一个关于 $x$ 和 $u$ 的变量可分离方程。
证毕。
例 2
考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{y}{x}+ \mathrm{e} ^{-\frac{y}{x}}$。
根据定理 1 的证明结论，取 $u=y/x$，将方程改写为 4
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{1}{x \mathrm{e} ^u}~.
\end{equation}
进行变量分离后，积分得
\begin{equation}
\mathrm{e} ^u=\ln \left\lvert x \right\rvert +C~,
\end{equation}
这就是其通解。
推论 1
形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ 的方程，可以化为变量可分离的形式。
证明：
当 $c_1=c_2=0$ 的时候，方程就是 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}$，右边只需要上下同时除以 $x$ 就可以得到 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}$，这就符合了定理 1 的情况。
但是当 $c_1$ 和 $c_2$ 不全为零的时候，我们就得想办法化成相同的情况。
$a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 分别表示两条直线。它们的交点在原点，当且仅当 $c_1=c_2=0$，也就是说现在考虑的情况是这两条直线的交点不在原点——那我们就把它挪到原点不就好了？
联立 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$，求出交点 $(x_0, y_0)$。作变量代换（也就是移动整个坐标系，使得原点跑到两直线交点处）：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
X=x-x_0\\
Y=y-y_0
\end{aligned}\right. ~,
\end{equation}
这样就有 $a_1X+b_1Y=0$ 和 $a_2X+b_2Y=0$。
同时由于是平移，换句话说变量代换里 $x_0$ 和 $y_0$ 是常数，因此还有 $ \,\mathrm{d}{X} = \,\mathrm{d}{x} $，$ \,\mathrm{d}{Y} = \,\mathrm{d}{y} $。
于是原方程化为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}~.
\end{equation}
如前所述，这可以化为变量可分离形式。
证毕。
推论 2
形如 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=g(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})$ 的方程，都可以化为变量可分离的形式。
证明：
用和推论 1 相同的方法作变量代换即可。
证毕。
例 3
考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{3x+2y-4}{x+3y+1}$。
直线 $3x+2y-4=0$ 和 $x+3y+1=0$ 的交点是 $(2, -1)$，因此我们作变量代换：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
X=x-2\\
Y=y+1
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
得到
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{3X+2Y}{X+3Y}~,
\end{equation}
将
式 13 右边上下同除以 $X$ 以后得
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{3+2Y/X}{1+3Y/X}~,
\end{equation}
按定理 1 的方式，令 $U=Y/X$，则式 14 又化为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{U} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{\frac{3+2U}{1+3U}-U}{X}~,
\end{equation}
移项，整理得
\begin{equation}
\int\frac{3U+1}{-3U^2+U+3} \,\mathrm{d}{U} =\int\frac{1}{X} \,\mathrm{d}{X} +C~,
\end{equation}
两边积分后即可得解。式 16 左边的积分稍有复杂，但技巧不难。
例 4
考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=(\frac{2x+2y-6}{x+3y-7})^2$。
直线 $2x+2y-6=0$ 和 $x+3y-7=0$ 的交点是 $(1, 2)$，因此我们作变量代换：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
X=x-1\\
Y=y-2
\end{aligned}\right. ~,
\end{equation}
得到
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=(\frac{2X+2Y}{X+3Y})^2~.
\end{equation}
将式 18 化为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{Y} }{ \,\mathrm{d}{X} }=(\frac{2+2Y/X}{1+3Y/X})^2~.
\end{equation}
按定理 1 的方式，令 $U=Y/X$，则式 19 又化为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{U} }{ \,\mathrm{d}{X} }=\frac{(\frac{2+2U}{1+3U})^2-U}{X}~,
\end{equation}
接下来只需要积分即可。不过说起来容易做起来难，这里关于 $U$ 的积分非常复杂，解到这一步能看出来它可以变量分离即可。