贡献者: 零穹
1下面将介绍常微分方程的一般积分,它是常微分方程解的一般形式。物理学中 “运动积分”(或 “运动方程的积分”)(运动积分)和 “循环积分” 中的 “积分” 之所以叫 “积分” 的原因,可以在本文得到解答。
“积分” 的概念源于微积分,“积分” 和 “导数” 彼此对应:“你” 是 “我” 的导数,“我” 就是 “你” 的积分,反之亦然。微分方程是关于未知函数导数的方程,其主要目的是要求得该未知函数,满足微分方程的未知函数称为该方程的解,所以微分方程的解当然就是微分方程中对应的导数的积分。由于这样的理由,人们也把微分方程的解叫作微分方程的积分。
$n$ 阶常微分方程一般形式为(式 1 ):
对于 $n$ 阶微分方程式 1 或式 2 ,有存在与唯一定理,它可以叙述为:若函数 $f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 是 $(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 的单值函数,且在 $(x_0,y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)})$ 的一邻域内,$f$ 连续且有对 $y,y',\cdots,y^{(n-1)}$ 的一阶连续偏微商,则满足初始条件
改变初始条件中的常数 $y_0,y_0',\cdots,y_0^{(n-1)}$,就可以得到微分方程式 1 或式 2 的无穷多个解。这就是说,微分方程的解依赖于 $n$ 个任意常数。一般来说,这 $n$ 个任意常数不一定以初始条件的形式在解中出现,而以一般的形式出现2:
一般积分式 4 也可以写成隐示式
由方程式 4 或式 5 对 $x$ 求导,直到 $n-1$ 阶,再用 $x=x_0$ 及初始条件式 3 代入,就得到 $n$ 个方程。由这 $n$ 个方程,就可以确定出对应初始条件式 3 的一般积分式 4 中的任意常数 $C_1,\cdots,C_n$。
根据定理 2 ,一般的常微分方程组都等价于一阶的常微分方程组(标准常微分方程组定义 1 )。这就是说,我们只需要讨论下面 $n$ 个一阶微分方程的方程组
和一个方程时一样的理由,方程组式 6 的解依赖于 $n$ 个任意常数,这些常数以一般的形式出现在解中:
给常数 $C_1,\cdots,C_n$ 以确定的值,就得到方程组式 6 的特殊解。若代入初始条件于 式 9 ,就可由 $n$ 个方程组
由式 9 ,可以得到微分方程组一般解的下面形状的公式:
于是,为了从微分方程组的积分求出方程组的一般积分,需要求出方程组的 $n$ 个这样的积分,才能由等式式 11 解出解出 $y_1,\cdots,y_n$ 来。
上面的定义正是物理中的 “运动积分”、“循环积分” 的 “积分” 之涵义。
有时我们说方程组的积分,不是指等式式 11 ,而是指函数 $\varphi_i(x,y_1,\cdots,y_n)$。就是说,若把方程组的任何解代入函数 $\varphi(x,y_1,\cdots,y_n)$ 中,$\varphi$ 成为常数,则函数 $\varphi$ 叫作这方程组的积分。这里 $\varphi$ 当然不是常数,因为解的初始条件是随意的,这个常数当然也是随意的。显然,方程组的一些积分的任意函数 $F(\varphi_1,\cdots,\varphi_k)$ 也是方程组的积分,这只是由式 11 推得的,并非什么新结果。
1. ^ 参考斯米尔诺夫《高等数学》第 2 卷第 1 分册
2. ^ 关于这一点,可以这样理解:当 $n$ 个任易常数确定时,解是唯一的,所以 $n$ 阶微分方程的解具有 $n$ 个自由度,故解应以任意形式依赖于这 $n$ 个任意常数。而以初始条件出现的 $n$ 个数可以看成表示这 $n$ 个任意常数的参数 $C_1,\cdots,C_n$ 的函数,当 $C_1,\cdots,C_n$ 确定时,就确定了对应的初始值