数论函数

贡献者： int256; hfb25

预备知识　映射

　　以自然数集或正整数集为定义域，以一数集¹为值域的函数称为数论函数。

　　下面列出常见的数论函数（均定义在自然数集上，其中的 $λ$ 均是实数）:

单位函数 $I (n)$
$\begin{matrix} (1) & I (n) = {\begin{cases} 1 (n = 1) \\ 0 (n > 1) . \end{cases} \end{matrix}$
有时也表示为 $ε (n)$ 。
单值函数 $u (n)$
$\begin{matrix} (2) & u (n) \equiv 1 . \end{matrix}$
恒等函数 $e (n)$
$\begin{matrix} (3) & e (n) = n . \end{matrix}$
幂函数 $n^{λ}$
对数函数² $\log n$
幂函数 ${id}_{k} (n) = n^{k}, id = {id}_{1}$ 。

除数函数 $d (n)$
$\begin{matrix} (4) & d (n) = \sum_{d | n} 1 = {\begin{cases} 1 & (n = 1) \\ \prod_{i = 1}^{s} (α_{i} + 1) & (n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{s}^{α_{s}}) . \end{cases} \end{matrix}$
除数和函数 $σ (n)$
$\begin{matrix} (5) & σ (n) = \sum_{d | n} d = {\begin{cases} 1 & (n = 1) \\ \prod_{i = 1}^{s} \frac{p_{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1} & (n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{s}^{α_{s}}) . \end{cases} \end{matrix}$
除数幂和函数 $σ_{λ} (n)$
$\begin{matrix} (6) & σ_{λ} (n) = \sum_{d | n} d^{λ} . \end{matrix}$
不同素因子个数 $ω (n)$
$\begin{matrix} (7) & ω (n) = \sum_{p | n} 1 = {\begin{cases} 0 (n = 1) \\ s (n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{s}^{α_{s}}) . \end{cases} \end{matrix}$
全部素因子个数（按重数计） $Ω (n)$
$\begin{matrix} (8) & Ω (n) = \sum_{p^{r} ‖ n} r = {\begin{cases} 0 & (n = 1) \\ \sum_{i = 1}^{s} α_{i} & (n = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{s}^{α_{s}}) . \end{cases} \end{matrix}$

素数计数函数 $π (n)$
$\begin{matrix} (9) & π (n) = \sum_{p \leq n} 1 . \end{matrix}$
$M \ddot{o} bius$ 函数 $μ (n)$
$\begin{matrix} (10) & μ (n) = {\begin{cases} 1 & (n = 1) \\ 0 & (n = l^{2} k, l > 1, l, k \in N) \\ (- 1)^{s} & (n = p_{1} p_{2} p_{3} \dots p_{s}) . \end{cases} \end{matrix}$
$Euler$ 函数 $φ (n)$
$\begin{matrix} (11) & φ (n) = \sum_{1 \leq d \leq n, (d, n) = 1} 1 . \end{matrix}$
$van Mangoldt$ 函数 $Λ (n)$
$\begin{matrix} (12) & Λ (n) = {\begin{cases} \ln p & (n = p^{s}) \\ 0 & (ω (n) \neq 1) . \end{cases} \end{matrix}$
有以下常用性质： $\ln n = \sum_{d | n} Λ (d),$ $Λ (n) = \sum_{d | n} μ (\frac{n}{d}) \ln (d),$ $Λ (n) = - \sum_{d | n} μ (d) \ln d .$
$Liouville$ 函数 $λ (n)$
$\begin{matrix} (13) & λ (n) = (- 1)^{Ω (n)} . \end{matrix}$
有性质： $μ (n) = \sum_{d^{2} | n} μ (d) λ n / d^{2}$ 。
$ϑ (x)$ 函数
$\begin{matrix} (14) & ϑ (x) = \sum_{1 \leq p \leq x} \ln p = \ln (\prod_{1 \leq p \leq x} p) . \end{matrix}$
$ψ (x)$ 函数
$\begin{matrix} (15) & ψ (x) = \sum_{1 \leq p^{m} \leq x} \ln p = \sum_{1 \leq n \leq x} Λ (n), \end{matrix}$

1. ^ 指复数域的一个子集。
2. ^ 在数论研究中，对数函数的底默认为自然常数 $e$ 。