无理数（数论）
贡献者： int256
定义 1 有理数与无理数
能表示为互素的整数 $a$ 与 $b\neq 0$ 的比值 $a/b$ 的数称为有理数。
非有理数，也就是不能表示为互素整数 $a$ 与 $b\neq 0$ 的比值 $a/b$ 的数称为无理数。
证明：假设若 $\sqrt 2$ 有理，则对于 $\sqrt 2 = a/b$，即方程 $a^2=2b^2$ 有整数解，且 $(a, b) = 1$。
而注意到等式右侧是 $2$ 的整数倍，是偶数，故 $a$ 也是偶数，即 $a=2c$，这会使得 $(2c)^2 = 2b^2$，可化为 $2c^2=b^2$，同样是的 $b$ 是偶数而 $a, b$ 就有公约数 $2$，与 $(a, b) = 1$ 矛盾！得证。
定理 2
对于整数 $N$，$\sqrt[m]{N}$ 无理，除非 $N$ 是某整数 $n$ 的 $m$ 次方。
证明：仍考虑 $\sqrt[m]{N} = a/b$，$(a, b) = 1$，可化为
\begin{equation}
a^m = N b^m, ~ (a, b) = 1 ~,
\end{equation}
而考虑 $a^m$ 的各素因子与次幂 $p^k$，则 $p^{mk} | (Nb^m)$，显然 $N$ 不能是 $p^{mk}$ 否则 $N$ 就是 $p^k$ 的 $m$ 次方，这就使得总会有 $p | b^m$ 从而 $p|b$，从而 $(a, b)$ 至少有 $p$ 而不等于 $1$，矛盾！故得证。
定理 3
对于关于 $x$ 的首 $1$ 整系数多项式
\begin{equation}
x^n + c_1 x^{n-1} + c_2 x^{n-2} + \cdots + c_n = 0 ~,
\end{equation}
若 $x_0$ 是一根，则 $x$ 要么是整数，要么 $x$ 就是无理数。
证明：我们可以假设 $c_n \neq 0$，否则可以提取出因式 $x$ 而继续重复这操作直到 $c_n = 0$。
此时当 $x_0$ 有理时，设 $x_0 = a/b$ 且 $(a , b) = 1$，则可化为
\begin{equation}
a^n + c_1 a^{n-1} b + c_2 a^{n-2} b^2 + \cdots + c_nb^n = 0~,
\end{equation}
这就说明 $b | a^n$，于是对于任何 $b$ 的素因子 $p$ 都有 $p|a^m$ 即 $p | a$，就使得 $(a, b)$ 至少为 $p$，矛盾！故 $b$ 无素因子，即 $b = 1$，而此时 $x_0$ 是整数。
故 $x_0$ 有理时必然为整数，即 $x_0$ 要么无理，要么是整数。证毕！