贡献者： addis
1. 标量函数与矢量函数
我们先区分两种函数，第一种是普通的多元函数 $f(x, y, z)$，也叫标量函数，即自变量 $x, y, z$ 是实数，函数值也是实数1。另一种是矢量函数，一般用粗体加以区分（手写的时候在上方加箭头），如 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$，即函数值是一个 3 维矢量2。矢量函数也可以记为三个分量的形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) = f_x(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + f_y(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + f_z(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
2. 矢量算符
定义三维的矢量算符（vector operator）为（也叫 nabla 或 del 算符）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} ~.
\end{equation}
$ \boldsymbol{\nabla} $ 作用在标量函数 $f(x, y, z)$ 上的结果称为函数的
梯度，是一个矢量函数
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla} f(x, y, z) = \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
这可以类比矢量与标量的乘法。
$ \boldsymbol{\nabla} $ 与矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$ 的作用通常有两种定义，第一是 “点乘”，结果称为函数的散度（divergence），是一个标量函数
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\cdot \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\
&= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以类比两个矢量的
点乘（内积）。
另一种情况是 “叉乘”，结果称为函数的旋度（curl），是一个矢量函数
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\times \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\
&= \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\f_x & f_y & f_z\end{vmatrix} \\
&= \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以类比两个矢量的
叉乘。
另见拉普拉斯算符。
1. ^ 一些情况下也可以是复数
2. ^ 一些情况下也可以是 $N = 1, 2, \dots$ 维