模

贡献者： JierPeter

预备知识　环，矢量空间

1. 模的概念

　　模是对线性空间的一种推广，相当于要求进行数乘时所用的 “数” 不再是一个域的元素，而只要求是一个环。也就是说，线性空间是模的一种，但模不一定是线性空间。

　　模也是交换群的推广。一方面，模关于加法是构成交换群的；另一方面，任何交换群实际上都是整数环上的模。

　　最早给出模的严格定义的是德国数学家 Emmy Noether，她意识到了有限群的矩阵表示理论和代数结构理论可以藉由模来联系，自此模一直都和表示理论密不可分。

定义 1　左模

　　给定一个幺环 $(R, \times, +)$ 和一个阿贝尔群 $(M, +)$ ，将 $R$ 中的每个元素都定义为 $M$ 上的一个变换，其中对于 $r \in R, m \in M$ ，记 $r m \in M$ 为 $r$ 对 $m$ 进行变换的结果。

　　如果所定义的变换满足：

对于任意 $r_{i} \in R, m \in M$ ，有： $r_{2} (r_{1} m) = (r_{2} \times r_{1}) m$ ；
对于任意 $r_{i} \in R, m \in M$ ，有： $r_{2} m + r_{1} m = (r_{2} + r_{1}) m$ ；
对于任意 $r \in R, m_{i} \in M$ ，有： $r (m_{1} + m_{2}) = r m_{1} + r m_{2}$ ；
对于 $R$ 的乘法单位元 $1_{R}$ 和任意 $m \in M$ ，有： $1_{R} m = m$ 。

　　那么我们说环 $R$ 和群 $M$ 配合给定的变换定义，构成一个左 $R$ -模（left $R$ -modeule），记为 $_{R} M$ 。

　　类似地，也可以定义 $r_{i}$ 从右边作用于 $m_{i}$ ，所得的结构就是右 $R$ -模（right $R$ -modeule），记为 $M_{R}$ 。

定义 2　子模

　　令 $_{R} M$ 是 $R$ 上的一个左模， $N$ 是 $M$ 的一个子集，且对于任意 $r \in R$ 和 $n \in N$ 有 $r n \in N$ ，那么 $N$ 可以继承 $_{R} M$ 上的作用，构成一个左 $R$ -模，记为 $_{R} N$ 。称 $_{R} N$ 为 $_{R} M$ 的子模（submodule）。

定义 3　模同态

　　设 $_{R} M$ 和 $_{R} N$ 都是左 $R$ -模，且有群同态 $f : M \to N$ ，使得对于任何 $r, s \in R$ 和 $m \in M, n \in N$ ，有 $f (r m + s n) = r f (m) + s f (n)$ ，那么说 $f$ 是一个 $R$ -模同态（module）¹。

　　线性空间的数乘并没有左右的区分，而模的 “数乘”，即以上定义的变换，是有的。这是因为域的乘法必然是交换的，而环的则不一定，导致 $r_{1} m r_{2}$ 的定义不明确。但是如果 $R$ 是交换环，那么我们就可以良好地定义 $r_{1} m r_{2} = (r_{1} \times r_{2}) m = (r_{2} \times r_{1}) m = m (r_{1} \times r_{2}) = m (r_{2} \times r_{1})$ 。交换环 $R$ 上的左模和右模可以一致地定义，统称为 $R$ -模。

定义 4　线性空间

　　域上的模，称为线性空间（linear space）。

　　我们从直观的几何向量出发，抽象出其最重要的性质，即线性性，得到了线性空间的概念。但推广并不止步于此，我们继续将系数域的概念推广到一般的环，得到了模。模通常有一些一般线性空间不具备的性质，比如不一定有 “基”，即便有，也可能出现元素数量不同的极大线性无关组。但无论如何，在模论的大部分研究中，我们关心的都是那些尽可能保留线性空间中优良性质的结构。

2. 模的例子

定义 5　有限生成模

　　令 $_{R} M$ 是 $R$ 上的一个左模，如果存在 $M$ 的有限子集 ${m_{1}, \dots, m_{n}}$ ，使得 $M = {r_{1} m_{1} + r_{2} m_{2} + \dots + r_{n} m_{n} | r_{i} \in R}$ ，则称 $_{R} M$ 是有限生成（finitely generated）的，子集 ${m_{1}, \dots, m_{n}}$ 称为其一个生成组。

　　特别地，有限生成组只包含一个元素的模，称为一个循环模（cyclic module）。

定义 6　自由模

　　令 $R$ 为一个环，集合 $M = {(r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}) | r_{i} \in R}$ 。在 $M$ 上定义加法运算为 $(r_{1}, \dots, r_{n}) + (s_{1}, \dots, s_{n}) = (r_{1} + s_{1}, \dots, r_{n} + s_{n})$ ，使 $M$ 构成一个阿贝尔群。如果再定义左数乘为 $r (r_{1}, \dots, r_{n}) = (r \times r_{1}, \dots, r \times r_{n})$ ，那么称这样得到的模为一个自由 $R$ -模（free $R$ -module）。

例 1　

　　线性空间都是其基域上的模。

例 2　

　　给定环 $R$ ，则其多项式环 $R [x]$ 构成一个 $R$ -模。

例 3　

　　任取一个环 $R$ 和它的一个理想 $I$ ，则 $I$ 可以构成 $R$ 上的一个左模（右模同理）。

　　这个例子暗示了将线性空间推广到模的有趣之处：域由于乘法可逆性，没有非平凡理想，而没有乘法可逆性的环便可以取非平凡理想，从模的角度讨论理想的性质。

例 4　

　　给定环 $R$ 上的左模 $M$ 和集合 $S$ ，令 $M^{S}$ 的集合是由全体映射 $f : S \to M$ 作为元素构成的。

　　定义 $M^{S}$ 上的加法，使得对于任意 $f, g \in M^{S}, x \in S$ 都有 $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ 。

　　定义 $R$ 对 $M^{S}$ 的数乘使得对于任意 $r \in R$ 有 $(r f) (x) = r (f (x))$ 。

　　如此， $M^{S}$ 便是 $R$ 上的一个模。

　　进一步，如果 $R$ 是交换环而 $S$ 也是 $R$ 上的模，则取全体 $S \to M$ 的模同态所构成的集合，可以构造 $M^{S}$ 的一个子模（子模的概念见下）。

例 5　流形上的光滑向量场

　　一个流形 $M$ 上的全体光滑函数配合函数的加法和乘法，构成一个环 $C^{\infty} (M)$ 。光滑函数乘到光滑向量场上的运算作为左乘，则 $X (M)$ 构成一个左 $C^{\infty}$ -模。

　　详细讨论见流形上的代数结构。

1. ^ 这里表述有冗余，因为群同态意味着 $f (r m + s n) = f (r m) + f (s n)$

模

1. 模的概念

定义 1 左模

定义 2 子模

定义 3 模同态

定义 4 线性空间