Minkowski 泛函

贡献者：零穹

预备知识　齐次凸泛函，凸集和凸体

定义 1　Minkowski 泛函

　　设 $L$ 是任一线性空间， $A$ 是核包含 0 的 $L$ 中的凸体（定义 4 ），则称泛函

\begin{matrix} (1) & p_{A} (x) = inf {r | \frac{x}{r} \in A, r > 0} \end{matrix}

为凸体

A

的Minkowski 泛函。

引理 1　

　　设 $L, A, p_{A}$ 如定义 1 定义。则任意 $x \in L, 0 < ϵ \in R$ ，只要 $r > p_{A} (x)$ ，就有 $x / r \in A$

　　 证明：事实上，在 $p_{A} (x) = 0$ 时 $x / r = 0 \in A$ ；反之 $p_{A} (x) \neq 0$ ，由 $p_{A} (x)$ 的（下确界的）定义，一定存在 $p_{A} (x) \leq a < r$ ，使得 $x / a \in A$ ，否者 $inf {r | \frac{x}{r} \in A, r > 0} \geq r$ 。于是存在 $s \in A$ ，使得 $x = a s$ ，因此 $x / r = (a / r) s \in A$ （因为 $A$ 是凸集，而 $(a / r) s$ 在 $0, s \in A$ 的线段上）。

　　 证毕！

定理 1　

　　 Minkowski 泛函式 1 是齐次凸的与非负的。

　　 证明：非负性：对每一 $x \in L$ ，如果 $r$ 充分大，则元素 $x / r$ 属于 $A$ 。因此定义 1 定义的 $p (x)$ 是非负有限的（由于是取下确界）。现在来证明正齐次性。

　　 正齐次性：若 $t > 0$ ，则

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} p_{A} (t x) = & inf {r | t x / r \in A, r > 0} = inf {r | x / (r / t) \in A, r > 0} \\ = & inf {t r^{'} | x / r^{'} \in A, r^{'} > 0} = t inf {r^{'} | x / r^{'} \in A, r^{'} > 0} \\ = & t p_{A} (x) \\ . \end{aligned} \end{matrix}

凸性：设

x_{1}, x_{2} \in L, ϵ > 0

任意，取

r_{i} (i = 1, 2)

使得

p_{A} (x_{i}) < r_{i} < p_{A} (x_{i}) + ϵ

，则由定理 1 ，

x_{i} / r \in A

。令

r = r_{1} + r_{2}

，则点

\begin{matrix} (3) & \frac{x_{1} + x_{2}}{r} = \frac{r_{1}}{r r_{1}} x_{1} + f r a c r_{2} r r_{2} x_{2} \end{matrix}

属于具有端点

x_{1} / r_{1}

与

x_{2} / r_{2}

的线段。由于

A

的凸性，该线段属于

A

，这也意味着点

(x_{1} + x_{2}) / r \in A

。因此（由定义 1 ）

\begin{matrix} (4) & p_{A} (x_{1} + x_{2}) \leq r = r_{1} + r_{2} < p_{A} (x_{1}) + p_{A} (x_{2}) + 2 ϵ . \end{matrix}

因为

ϵ > 0

的任意性，则

\begin{matrix} (5) & p_{A} (x_{1} + x_{2}) \leq p_{A} (x_{1}) + p_{A} (x_{2}) . \end{matrix}

由定理 1 ，

p_{A}

凸。

　　 证毕！

定理 2　

　　若 $p (x)$ 是线性空间 $L$ 上任意非负齐次凸泛函， $k$ 是正数，则

\begin{matrix} (6) & A = {x | p (x) \leq k} \end{matrix}

是凸体，其核是包含

0

的集

{x | p (x) < k}

。如果式 6 中

k = 1

，则原泛函

p (x)

是

A

的 Minkowski 泛函。

　　 证明： 凸体：设 $x, y \in A, α + β = 1, α, β \geq 0$ ，则（根据 $p$ 泛函的凸性）

\begin{matrix} (7) & p (α x + β y) \leq α p (x) + β p (x) \leq k . \end{matrix}

这即表明

A

是凸的。

　　核：设 $p (x) < k, t > 0$ 与 $y \in L$ ，则（根据正齐次凸性和定理 1 ）

\begin{matrix} (8) & p (x \pm t y) \leq p (x) + t p (\pm y) . \end{matrix}

若

p (- y) = p (y) = 0

，则上式为

p (x \pm t y) \leq p (x) < k

，即对一切

t

，成立

x \pm t y \in A

；反之，

p (y), p (- y)

必有一异于零，则对

\begin{matrix} (9) & t < \frac{k - p (x)}{max {p (y), p (- y)}}, \end{matrix}

成立

\begin{matrix} (10) & p (x) + t p (\pm y) \leq p (x) + (k - p (x)) = k . \end{matrix}

即

x \pm t y \in A

。

　　 $k = 1$ 是 Minkowski 泛函：任意 $x / r \in A$ ，成立 $p (x / r) \leq 1$ ，进而由齐次性 $p (x) \leq r$ ，即 $p (x)$ 是 ${r | x / r \in A, r > 0}$ 的下界。另一方面，若 $x / r \notin A$ ，则 $p (x) > r$ ，即 $p (x)$ 比 ${r | x / r \in A, r > 0}$ 的一切下界都大，因此 $p (x)$ 是 ${r | x / r \in A, r > 0}$ 的下确界。

　　 证毕！

Minkowski 泛函

定义 1 Minkowski 泛函

引理 1

定理 1

定理 2

定义 1　Minkowski 泛函

引理 1　

定理 1　

定理 2　