贡献者： 零穹
[1] 在分析学中函数的延拓是一类重要的问题，而函数空间可以用线性空间来描述，因此函数的延拓是对线性泛函的延拓。本文将讲述在线性泛函延拓的一般概念，及在线性泛函延拓的整个问题中起着重要作用的定理——Hahn-Banach 定理。
定义 1 延拓
设 $L$ 是实线性空间，而 $L_0$ 是它的某一子空间，$f_0$ 是在 $L_0$ 上定义的线性泛函。若 $f$ 是在 $L$ 上定义的线性泛函，且对 $\forall x\in L_0$，成立 $f(x)=f(x_0)$，则称 $f$ 是 $f_0$（在全空间 $L$ 上）的延拓。
定理 1 Hahn-Banach
设 $p$ 是线性空间 $L$ 上的齐次凸泛函，$L_0$ 是 $L$ 中的线性子空间。如果 $f_0$ 是 $L_0$ 上的线性泛函，且从属于 $p$ 在 $L_0$ 上的限制，即在 $L_0$ 上
\begin{equation}
f_0(x)\leq p(x),~
\end{equation}
则 $f_0$ 在 $L$ 上的延拓 $f$ 存在，且 $f$ 从属于 $p$。
证明：首先证明，若 $L_0\neq L$，则 $f_0$ 可以从 $L_0$ 延拓到保持式 1 的某一更广的子空间上：事实上，设 $z\in L$ 且 $z\notin L_0$，$L'$ 是 $L_0$ 和 $z$ 生成的子空间（即包含 $L_0$ 和 $z$ 的最小子空间）。于是 $L'$ 中的每一元素都具有 $tz+x$ 的形式，其中 $x\in L_0$（试证明）。
若 $f'$ 是 $L'$ 上 $f_0$ 的延拓，则
\begin{equation}
f'(tz+x)=tf'(z)+f_0(x),~
\end{equation}
现在选取 $f'(z)$ 使得在 $L'$ 上
式 1 成立，即 $tf'(z)+f_0(x)\leq p(x+tz)$ 对一切 $x\in L_0$ 及一切实数 $t$ 恒成立。这等价于
\begin{equation}
f_0 \left(\frac{x}{t} \right) +f'(z)\left\{\begin{aligned}
&\leq p \left(\frac{x}{t}+z \right) ,\quad t\geq 0;\\
&\geq -p \left(-\frac{x}{t}-z \right) ,\quad t\leq 0.
\end{aligned}\right.
~
\end{equation}
因此我们只要验证恒有满足
式 3 的 $f'(z)$ 存在即可。设 $y,y'\in L_0$，则由
式 1 ，成立
\begin{equation}
-f_0(y')+p(y'+z)\geq -f_0(y)-p \left(-y-z \right) .~
\end{equation}
令
\begin{equation}
\begin{aligned}
c'=\inf_{y'} \left\{f_0(y')+p(y'+z) \right\} ,\\
c=\sup_y \left\{-f_0(y)-p \left(-y-z \right) \right\} .
\end{aligned}~
\end{equation}
由 $y,y'$ 的任一性，据
式 4 ，得 $c'\geq c$。选取 $f'(z)$ 使得 $c'\geq f'(z)\geq c$，并注意到
式 4 中 $y'=y=x/t$ 时就是
式 3 ，因此如下定义的泛函
\begin{equation}
f'(tz+x)=tf'(tz+x)+f_0(x)~
\end{equation}
满足
式 3 ，其中 $c'\geq f'(z)\geq c$。
其次，若在 $L$ 中可以选取生成 $L$ 的可数个元素 $x_1,\dots,x_n,\cdots$。则考虑递增序列
\begin{equation}
L^{(1)}=\{L_0,x_1\},L^{(2)}=\{L^{(1)},x_2\},\cdots,~
\end{equation}
其中 $\{L^{(k)},x_{k+1}\}$ 表示 $L$ 中包含 $L^{(k)}$ 与 $x^{k+1}$ 的最小线性子空间。于是可按归纳法构造 $L$ 上的泛函，这时，每一元素 $x\in L$ 属于某个 $L^{(k)}$，从而泛函可延拓到全空间 $L$。
不可数情形下需要佐恩引理（一种选择公理）和偏序的概念进行证明，本节略去。
证毕！
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版