洛必达法则

                     

贡献者: addis; Giacomo

预备知识 微分中值定理

   洛必达法则(L'Hospital rule)是一种对形如 $f(x)/g(x)$ 的函数求极限的方法。

  

未完成:链接:邻域

定理 1 $\left(\frac{0}{0}\right)$ 型洛必达法则

   设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U^\circ(a,\delta)$ 上可导,而且满足:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$;
  2. $g'(x)\neq 0, \forall x\in U^\circ(a,\delta)$;
  3. $\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=l$($l$ 为有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$);

   则有

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l~. \end{equation}
上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$,定理仍然成立。

   洛必达法则可以通过柯西中值定理证明。

未完成:证明补充

   对于其中的一种特殊情况 $sf=\lim\limits_{x\rightarrow a}f'(x),sg=\lim\limits_{x\rightarrow a}g'(x)$ 存在且 $sg\neq 0$,可以通过函数的一阶近似式来理解:$f(x)=sf\cdot (x-a)+ \mathcal{O}\left(x-a \right) ,g(x)=sg\cdot (x-a)+ \mathcal{O}\left(x-a \right) $,于是 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=sf/sg=\lim\limits_{x\rightarrow a}f'(x)/g'(x)$。利用泰勒展开公式作近似或者直接用洛必达法则,是求解分式函数极限问题的常用方法。

定理 2 $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ 型洛必达法则

   设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U^\circ(a,\delta)$ 上可导,而且满足:

  1. $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)=\infty$;
  2. $g'(x)\neq 0,\forall x\in U^\circ(a,\delta)$;
  3. $\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=l$($l$ 为有限数或 $\pm\infty,\infty$);

   则有

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l~. \end{equation}
上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$,定理仍然成立。

习题 1 

   计算 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$。

   直接对分子分母同时求导就可以求得:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1~, \end{equation}
这告诉我们 $\sin x$ 和 $x$ 在 $x\rightarrow 0$ 时是等价无穷小量(需引用文章)。

习题 2 

   计算 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x}$。

   提示:用洛必达法则,对分子和分母同时求两次导,答案为 $0.5$。

   这里我们也可以通过对分子分母作二阶近似来计算。利用 $e^x=1+x+x^2/2+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) ,\sin x=x+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) ,\cos x=1-x^2/2+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) $ 对原式进行化简:

\begin{equation} \begin{aligned} &e^{\sin x}=e^{x+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) }=1+x+x^2/2+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) ~,\\ &\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x} - \cos x - x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2/2+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) }{x^2+ \mathcal{O}\left(x^2 \right) }=\frac{1}{2}~. \end{aligned} \end{equation}

   在这个例子中,用一次洛必达法则不再能满足我们的要求,于是我们用了第二次洛必达法则,对分子分母再次求导。这对应着将分子分母的函数用关于 $x$ 的二阶近似公式来表示。从这里我们能看出洛必达法则与泰勒展开公式的联系。事实上,带皮亚诺余项的泰勒展开式可以轻易地由洛必达法则得到。

  

未完成:文章:big O 记号

                     

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