贡献者： 欄、停敘
这篇文章会介绍大型运算符，他们往往代表了一个过程。下面会主要介绍他们的过程、记法以及一些常用的性质。
1. 累计运算过程
累计运算过程一般包括：
- 求和符号：$\sum$
- 求积符号：$\prod$
- 并集符号：$\bigcup$
- 交集符号：$\bigcap$
- 析取符号：$\bigvee$
- 合取符号：$\bigwedge$
- 上积1符号：$\coprod$
- 积分符号：$\int$
记法
无穷情况
有时会出现，下限位置为 $-\infty$，上限位置为 $+\infty$ 等情况，比如级数等情况。这种情况并非实指去到对应点，而是指取相应极限，且此时的无穷为可数无穷。即：
\begin{equation}
\sum_{i=-\infty}^n a_i:= \lim_{a\to-\infty}\sum_{i=a}^n a_i.~
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{i=0}^{+\infty} a_i:= \lim_{a\to+\infty}\sum_{i=0}^a a_i.~
\end{equation}
特殊地：
\begin{equation}
\sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i:= \lim_{a\to+\infty\atop b\to-\infty}\sum_{i=b}^a a_i.~
\end{equation}
例 1 设等比级数通项 $a_n=a_1q^{n-1}$，用求和符号表示等比级数和
$$
\sum_{i=1}^{+\infty} a_i=
\left\{\begin{aligned}
{a_1\over 1-q},\qquad |q|<1\\
\text{发散},\qquad |q|\geq1
\end{aligned}\right. ~.
$$
指标集记法
上面介绍的求和过程，指标集都是 $\mathbb{Z}$ 与某个区间的交集（这样可以保证自增），对于某些不需要自增或无法使用自增的场合，可以直接给定指标集，求和过程记作：
\begin{equation}
\sum_{i\in I} a_i~.
\end{equation}
其中，$I$ 为指标集。特别的，若 $I$ 为空集，一般称为 “空和”，并定义为 0，即：
\begin{equation}
\sum_{i\in \varnothing} a_i=0~.
\end{equation}
同时，若通过上下文可以明确指标集 $I$ 或只为表述记号的运算特点而不强调指标集时，在不引起歧义的情况下，为了方便可以直接记作：
\begin{equation}
\sum_i a_i.~
\end{equation}
这样使用时通常不会涉及指标的运算。
2. 离散性质
性质区分为通用性质和专属性质。通用性质是根据累积运算过程得到的，也即是与自然数的性质相关的，而专属性质是由各个运算本身的性质决定的。
由于上积运算不常见，因此下面的性质中暂不涉及上积。
通用性质
指标换元时，根据换元的关系，分别更换指标的下限、上限，以及求和通项中的指标。设 $k = i+m(m\in{\mathbb Z})$，则：
\begin{equation}
\sum_{i=a}^b g(i) = \sum_{k=a+m}^{b+m} g(k-m).~
\end{equation}
表1：通用性质
|
| 递归 | 指标换元 | 分组
|
|
求和符号：$\sum$ | $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=a_n+ \sum_{i=1}^{n-1}a_i$ | * | *
|
|
求积符号：$\prod$ | $\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i=a_n\times \prod_{i=1}^{n-1}a_i$ | * | *
|
|
并集符号：$\bigcup$ | $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i=A_n\cup \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$ | * | *
|
|
交集符号：$\bigcap$ | $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i=A_n\cap \bigcap_{i=1}^{n-1}A_i$ | * | *
|
|
析取符号：$\bigvee$ | $\displaystyle\bigvee_{i=1}^n X_i=X_n\vee \bigvee_{i=1}^{n-1}X_i$ | * | *
|
|
合取符号：$\bigwedge$ | $\displaystyle\bigwedge_{i=1}^n X_i=X_n\wedge \bigwedge_{i=1}^{n-1}X_i$ | * | *
|
3. 求和运算
积分近似
对于求和项数量非常多的情况，可以利用黎曼和的思想来近似化简，将求和过程转化成定积分。
\begin{equation}
\sum_{i=a}^b f(i) \approx \int_a^b f(x) \, dx.~
\end{equation}
多个求和符号的运算技巧
有一些场合会出现一个表达式中出现多个求和符号的情形。一如上面所说，展开仍然是通用的方法，但过于复杂会让人望而却步。下面的运算技巧绝对会让化简过程如虎添翼。
交换求和次序
类似于一个表格中，不论是先求行和再求和，还是先求列和再求和，结果都是将所有的数字求一遍。
\begin{equation}
\sum_{i,j} a_{ij}=\sum_{i} \sum_{j} a_{ij} = \sum_{j} \sum_{i} a_{ij}.~
\end{equation}
其中 $\sum\limits_{i,j}$ 表示按任意顺序遍历所有 $(i,j)$。
双重求和
两个求和符号的积可以展开为它们每一项组合的积的和。
\begin{equation}
\left(\sum_i a_i \right) \left(\sum_j b_j \right) = \sum_{i,j} a_i b_j = \sum_i \left(a_i \sum_j b_j \right) = \sum_j \left(b_j \sum_i a_i \right) ~.
\end{equation}
注意：第一个等号从左到右没有条件，但从右到左时需要保证每个变量的独立性，即 $a_i$ 中不包含 $j$，$b_j$ 中不包含 $i$。
例 2 用求和符号计算数列 $\{a_n\}$ 的和的平方
$$ \left(\sum_i a_i \right) ^2 = \sum_{i,j} a_i a_j = \sum_i a_i^2 + 2\sum_{i< j} a_i a_j~.$$
注意区分求和指标，第二步如果写成 $\sum\limits_{i,i} a_i a_i$ 将产生混乱。
4. 极限运算过程
$\lim$
5. 极值运算过程
- 上确界：$\sup$
- 下确界：$\inf$
- 最大值：$\max$
- 最小值：$\min$
上面四个符号均可被 $\arg$ 修饰，表示取得相应边界时的变量取值。
例 3 $\arg$ 修饰 $\max$ 的含义
$J=\displaystyle\max_{x\in{\mathrm R}} (1-x^2)$ 表示，对任意自然数 $x$，$1-x^2$ 的最大值为 $J$。计算后可知，$J=1$。
修饰后为 $x^*=\displaystyle\arg\max_{x\in{\mathrm R}} (1-x^2)$，表示取最大值 $J=1$ 时的 $x$ 的变量值，可知 $x^*=0$。
1. ^ 在代数拓扑或范畴论中，通常用来表示某种类型的 “上积” 或 “并”，特别是在集合论或范畴论的背景下。直观上，可以将其视为将多个集合、空间等对象 “拼接” 在一起的操作。集合论中，上积通常表示它们的 “非交并”。