序数、超限数
贡献者： 零穹
序型是相互同构的偏序集的公共内在属性，良序集的序型称为序数，当强调良序集是无限集时，序数也称超限数。任意两个序数都是可比较的，这是本节的重点。
1. 序数
定义 1 保序映射
设 $M,M'$ 是两偏序集，$f$ 是 $M$ 到 $M'$ 的映射。如果 $a\leq b(a,n\in M)$ 推出 $f(a)\leq f(b)$，则映射 $f$ 称为保序的。若 $f$ 是双射，同时 $f(a)\leq f(b)$ 当且仅当 $a\leq b$ 时成立，则 $f$ 称为偏序集 $M$ 与 $M'$ 的同构映射，这时也称它们相互同构。
定义 2 序型、序数
若两偏序集 $M,M'$ 相互同构，则称它们具有同一序型。良序集（定义 4 ）的序型称为序数，无限的良序集的序数也称超限数。
定义 3 全序集的有序和
设 $M_1,M_2$ 时序型分别为 $\theta_1,\theta_2$ 的两个不相交的全序集，在 $M_1\cup M_2$ 中定义全序关系，其中 $M_1$ 的两个元素的序关系如同在 $M_1$ 中一样，$M_2$ 的元素的序关系如同在 $M_2$ 中一样，并且 $M_1$ 的任一元素前于 $M_2$ 的任一元素。这样的全序集称为 $M_1$ 与 $M_2$ 的有序和，记作 $M_1+M_2$，其序型称为序型 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 的有序和，记作 $\theta_1+\theta_2$。
定义 4 有序积
设 $M_1,M_2$ 是序型分别为 $\theta_1,\theta_2$ 的全序集。
2. 序数的比较