序数、超限数

贡献者：零穹

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预备知识　序关系

　　序型是相互同构的偏序集的公共内在属性，良序集的序型称为序数，当强调良序集是无限集时，序数也称超限数。任意两个序数都是可比较的，这是本节的重点。

1. 序数

定义 1　保序映射

　　设 $M, M^{'}$ 是两偏序集， $f$ 是 $M$ 到 $M^{'}$ 的映射。如果 $a \leq b (a, n \in M)$ 推出 $f (a) \leq f (b)$ ，则映射 $f$ 称为保序的。若 $f$ 是双射，同时 $f (a) \leq f (b)$ 当且仅当 $a \leq b$ 时成立，则 $f$ 称为偏序集 $M$ 与 $M^{'}$ 的同构映射，这时也称它们相互同构。

定义 2　序型、序数

　　若两偏序集 $M, M^{'}$ 相互同构，则称它们具有同一序型。良序集（定义 4 ）的序型称为序数，无限的良序集的序数也称超限数。

定义 3　全序集的有序和

　　设 $M_{1}, M_{2}$ 时序型分别为 $θ_{1}, θ_{2}$ 的两个不相交的全序集，在 $M_{1} \cup M_{2}$ 中定义全序关系，其中 $M_{1}$ 的两个元素的序关系如同在 $M_{1}$ 中一样， $M_{2}$ 的元素的序关系如同在 $M_{2}$ 中一样，并且 $M_{1}$ 的任一元素前于 $M_{2}$ 的任一元素。这样的全序集称为 $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 的有序和，记作 $M_{1} + M_{2}$ ，其序型称为序型 $θ_{1}$ 与 $θ_{2}$ 的有序和，记作 $θ_{1} + θ_{2}$ 。

定理 1　

　　有限个良序集的有序和仍是良序集。

推论 1　

　　序数的有序和仍是序数。

定义 4　有序积

　　设 $M_{1}, M_{2}$ 是序型分别为 $θ_{1}, θ_{2}$ 的全序集。

定理 2　

　　两个良序集的有序积仍是良序集。

推论 2　

　　序数的有序积仍是序数。

序数、超限数

1. 序数

定义 1 保序映射

定义 2 序型、序数

定义 3 全序集的有序和

定理 1

推论 1

定义 4 有序积

定理 2

推论 2

2. 序数的比较

定义 1　保序映射

定义 2　序型、序数

定义 3　全序集的有序和

定理 1　

推论 1　

定义 4　有序积

定理 2　

推论 2　