依测度收敛

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　可测函数

　　 我们已经知道，函数有 “逐点收敛” 和 “一致收敛” 等不同的收敛方式。逐点收敛的概念最简单，但是性质不太好；一致收敛的性质就非常好。

　　 现在我们有了外测度的概念，就可以构造一种新的收敛方式。

1. 依测度收敛

定义 1　依测度收敛

　　 设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是可测集，$f$ 和 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果对于任意固定的 $\epsilon>0$，有

\begin{equation} \lim\limits_{i\to\infty} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_i(x)-f(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0~. \end{equation}
则称函数列 $\{f_i\}$依测度收敛到函数 $f$，记为 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$（于 $E$）。

　　 简单来说，依测度收敛就是指任取一个精度范围 $\epsilon$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合的外测度趋于零。

　　 类似地，一致收敛可以简单解释为：任取一个精度范围 $\epsilon$，$f_i(x)$ 偏离 $f(x)$ 超过精度范围的 $x$ 称为 “不听话” 的点，那么随着 $i$ 增大，不听话的点构成的集合趋于空集。

　　 发现没？简单说法里，一致收敛和依测度收敛的简单解释，只有最后一句有差别。从这个差别可以容易看出，一致收敛能推出依测度收敛。更进一步，几乎处处一致收敛也能推出依测度收敛。

　　 我们把上述讨论总结成以下定理：

定理 1　

　　

　　 设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果 $f_i$一致收敛到 $f$a. e. ，那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$。

　　 在讨论依测度收敛的相关问题的时候，“几乎处处” 和 “处处” 可以看成是等价的，因为这两个限定词在测度意义上没有任何区别。

　　 实际上，几乎处处收敛也是能推出依测度收敛的：

定理 2　

　　

　　 设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 和各 $f_i$ 都是其上的几乎处处有限的可测函数，其中 $i$ 取遍全体正整数。如果 $f_i\to f $a. e.，那么 $f_i\overset{ \operatorname {m}}\to f$。

　　 证明：

　　 只需讨论 $f$ 在 $E$ 上恒等于 $0$ 的情况。

　　 任意固定一个 $\epsilon>0$。

　　 由 Egoroff 定理，对于任意 $\delta>0$，存在可测集 $E_\delta$，使得其测度小于 $\delta$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E-E_\delta$ 上一致收敛到 $f=0$。

　　 因此，存在正整数 $N_\delta$，使得只要正整数 $n>N_\delta$，就有 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert <\epsilon$ 在 $E-E_\delta$ 上处处成立。

　　 因此，只需要取 $\delta_k=1/2^k$1，得到各 $N_{\delta_k}$（记 $N_{\delta_k}=n_k$），那么 $ \left\lvert f_{n}(x) \right\rvert <\epsilon$ 在 $E-E_{\delta_k}$ 上处处成立，其中 $n>n_k$ 且 $ \operatorname {m}E_{\delta_k}<{\delta_k}$。

　　 因此，当 $n>n_k$ 时总有 $ \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}\leq \operatorname {m}E_{\delta_k}<\delta_k$。故

\begin{equation} \lim\limits_{n\to 0} \operatorname {m}\{x\in E| \left\lvert f_n(x) \right\rvert \geq\epsilon\}=0~. \end{equation}

　　 即得证。

　　 证毕。

　　 反过来，依测度收敛是不能推出几乎处处收敛的。

例 1　

　　

　　 考虑区间 $[0, 1)$ 上的函数列 $\{f_n\}$。为方便表述，定义一个取小数函数$D(x)$，即对于实数 $x$，$D(x)=x-[x]$ 是 $x$ 的小数部分。易见 $D(x)\in [0, 1)$ 恒成立。

　　 将取小数函数应用到区间上，记 $D([a, b])=\{D(x)|x\in[a, b]\}$。比如，$D([0.5, 1.1])=[0, 0.1]\cup[0.5, 1)$。为了方便想象，你也可以认为取小数函数就是把整个实数轴都卷成周长为 $1$ 的一个圆环。

　　 定义数列 $\{a_k\}$，其中 $a_0=0$，$a_k=a_{k-1}+1/k-1/2^k$。再定义数列 $\{b_k\}$，其中 $b_k=a_{k+1}+1/2^{k+1}$。你可以试着写出这两个数列的前几项，看看它们都在什么位置，这有助于理解接下来的构造。

　　 取区间列 $[a_k, b_k]$，则对于任意 $x\in[0, 1)$，总存在无限多个 $k$，使得 $x\in D([a_k, b_k])$。这是因为 $a_k$ 趋近于无穷，导致 $D(a_k)$ 在 $[0, 1)$ 中反复循环；而 $b_k>a_{k+1}$，使得区间列 $\{[a_k, b_k]\}$ 覆盖了所有正数，或者说在每个循环中 $D([a_k, b_k])$ 都能覆盖整个 $[0, 1)$。

　　 又因为 $ \operatorname {m}[a_k, b_k]=1/k$，知 $\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}[a_k, b_k]=0$。

　　 现在在 $[0, 1)$ 上定义函数列 $\{f_k(x)\}$，其中当 $x\in D([a_k, b_k])$ 时 $f_k(x)=1$，其余情况均有 $f_k(x)=0$。再定义 $f$，其在 $[0, 1)$ 上恒为 $0$。

　　 则按照上述构造，$f_k$ 依测度趋近于 $f$，但是它又处处不趋近于 $f$。

　　 当我们想到函数列的收敛时，最自然的想法就是处处收敛。现在我们知道了，依测度收敛比处处收敛还弱，例 1 甚至构造了一个处处不收敛但依然依测度收敛的例子。

2. Riesz 定理

　　 但依测度收敛也不是一无是处，它依然具有以下非常有用的性质：

定理 3　F. Riesz 定理

　　 如果在可测集 $E$ 上 $f_n\overset{m}\to f$，则必存在 $\{f_n\}$ 的子序列 $\{f_{n_k}\}$，使之几乎处处收敛于 $f$。

　　 证明：

　　 取一列单调递减趋近于零的正数 $\{\epsilon_k\}$。由于 $f_n\overset{m}\to f$，故对于每个 $\epsilon_k$，总存在一个 $N_k$ 使得只要 $n\geq N_k$，就有 $ \operatorname {m} \left(\{x\in E| \left\lvert f_n-f \right\rvert \geq\epsilon_k\} \right) <1/2^k$。以这些 $N_k$ 为编号，构建子序列 $\{f_{N_k}\}$。

　　 为方便，记 $\{x\in E| \left\lvert f_{N_k}(x)-f(x) \right\rvert \geq \epsilon_k\}=S_k$。

　　 如果 $x\in E$ 是 $f_{N_k}$ 的不收敛点，那么按照构造规则，它必然在每一个 $\bigcup^\infty_{k=1}S_k$ 中。而由于 $ \operatorname {m}S_k<1/2^k$，可知 $ \operatorname {m} \left(\bigcup^\infty_{k=n}S_k \right) \leq \sum^{\infty}_{k=n} \operatorname {m}S_k<1/2^{n-1}$。

　　 因此 $\{f_{N_k}\}$ 中不收敛于$f$ 的点构成的集合 $\bigcap^\infty_{n=1}\bigcup^\infty_{k=n}S_k$ 是一个零测集。定理得证。

　　 证毕。

　　 最后，我们以一个习题作为本节内容的收尾：

习题 1　

　　 若函数列 $\{f_n\}$ 和两个函数 $g$、$h$ 都是定义在 $E$ 上的可测函数，且在 $E$ 上，$f_n$ 同时依测度收敛于 $g$ 和 $h$。那么 $g$ 和 $h$ 几乎处处相等。

　　 证明该命题。

1. ^ 或者任意趋于零的正数列也行。

                     

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